Поскольку прямая AB касается окружности, то радиус окружности в точке касания B перпендикулярен касательной AB. Таким образом, треугольник OAB является прямоугольным.

По условию AB = 4A, где A - точка касания прямой AB и окружности, так как касательная делит хорду пополам. Тогда, AO = OB = 2A.

Из прямоугольного треугольника OAB следует, что AB^2 + OA^2 = OB^2

Подставляя известные значения, получаем:
(4A)^2 + (2A)^2 = (2A)^2
16A^2 + 4A^2 = 4A^2
20A^2 = 4A^2
A^2 = 4A

Поскольку AO = 2A, тогда OA^2 = (2A)^2 = 4A^2 = 16A. Так как OA - радиус окружности, получаем:
r = 16A.