1) Для доказательства равнобедренности треугольника MNK нужно проверить, что две из его сторон равны.
Для этого найдем длины сторон MN, NK, MK:
MN = √((7-2)^2 + (5-2)^2) = √(5^2 + 3^2) = √34
NK = √((4-7)^2 + (0-5)^2) = √((-3)^2 + (-5)^2) = √(9 + 25) = √34
MK = √((4-2)^2 + (0-2)^2) = √(2^2 + 2^2) = √8

Таким образом, MN = NK, и треугольник MNK равнобедренный.

2) Для нахождения высоты, проведенной из вершины N, нужно найти уравнение прямой, проходящей через N и перпендикулярной стороне MNK.
Сначала найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M и K:
k = (0-2)/(4-2) = -2/2 = -1

Тогда угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен 1. Теперь можем найти уравнение прямой:
y - 5 = 1(x - 7)
y - 5 = x - 7
y = x - 2

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку N и перпендикулярной стороне MNK, y = x - 2. Высота, проведенная из вершины N, будет равна расстоянию от точки М до этой прямой:
h = |(2 - 5)/(1 + 1)| = |(-3)/2| = 3/2

3) Найдем координаты точки P, параллельной прямой MNK и лежащей на одной высоте с вершиной N. Так как угол NPM прямой, а высота из вершины N перпендикулярна стороне МK, то мы знаем, что точка P лежит на прямой, проходящей через N и параллельной МK. Найдем уравнение этой прямой, зная, что ее угловой коэффициент равен -1:
y - 5 = -1(x - 7)
y - 5 = -x + 7
y = -x + 12

Точка P будет лежать на этой прямой и находиться на той же высоте, что и N. Значит, координаты точки P будут соответствовать уравнению y = -x + 12 и будут лежать на прямой, проходящей через N и параллельной MК. Из этого уравнения видно, что координаты точки P следующие: P(6; 6).