Доказательство:

Так как диагональ AC перпендикулярна диагонали BD и делит её пополам, то AC является осью симметрии для четырёхугольника ABCD. Это означает, что треугольники ABC и ADC симметричны относительно этой оси, а значит, они равны.

Поскольку треугольники ABC и ADC равны, то у них равны соответствующие углы: ∠ABC = ∠ADC. Также у них равны стороны, потому что треугольники равны.

Посмотрим на треугольник ABD. Так как AC делит BD пополам, то DB = DA. То есть стороны треугольника ABD равны. Также, учитывая равенство треугольников ABC и ADC, получаем, что углы ∠ABD и ∠CAD равны.

Теперь по свойству равенства треугольников ABC и ADC можем сказать, что угол ∠ACD также равен углу ∠ACB. Поэтому треугольникы ACD и ACB равнобедренные, откуда следует, что угол ∠CAD = ∠DAC. В свою очередь, это означает, что AC является биссектрисой угла BAD.

Таким образом, треугольники ABC и ADC равны, а диагональ AC является биссектрисой угла BAD.