По теореме синусов, отношение сторон треугольника равно синусу их противолежащих углов.

Пусть гипотенуза равна ( a ) см, катет ( b ) см, а катет, лежащий против угла 60 градусов, равен ( 3\sqrt{3} ) см.

Тогда, синус 60 градусов равен ( \frac{3\sqrt{3}}{a} ), а синус прямого угла равен ( \frac{a}{b} ), так как катет ( b ) является гипотенузой второго треугольника, образованного проведением высоты.

Отсюда, основываясь на том что синус 60 градусов равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{a} ]
[ a = 6 \text{ см} ]

Теперь, используя ту же теорему, найдем сторону ( b ):

[ \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{b} ]
[ b = 6\text{ см} ]

Таким образом, стороны треугольника равны 6, 3 корня из 3 и 6 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна ( \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} ) квадратных см.