Для начала найдем длину гипотенузы треугольника ABC по теореме Пифагора:

AC = √(AB^2 + BC^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10

Так как точка D делит гипотенузу AC пополам, то AD = DC = 5.

Теперь найдем площади треугольников ABD и BCD по формуле Герона:

Пусть r1 и r2 - радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD соответственно.

S1 = √(p1 (p1 - AB) (p1 - AD) * (p1 - BD)), где p1 = (AB + AD + BD) / 2

S2 = √(p2 (p2 - BC) (p2 - BD) * (p2 - CD)), где p2 = (BC + BD + CD) / 2

Так как S = r*p, где r - радиус, а p - полупериметр треугольника, то r1 = S1 / p1 и r2 = S2 / p2

Таким образом, расстояние между центрами окружностей будет равно |r2 - r1|.

Подставляя значения и вычисляя, получим:

p1 = (6 + 5 + 5) / 2 = 8

S1 = √(8 (8 - 6) (8 - 5) (8 - 5)) = √(8 2 3 3) = √144 = 12

r1 = 12 / 8 = 1.5

p2 = (8 + 5 + 5) / 2 = 9

S2 = √(9 (9 - 8) (9 - 5) (9 - 5)) = √(9 1 4 4) = √144 = 12

r2 = 12 / 9 = 4 / 3 ≈ 1.33

|r2 - r1| = |1.33 - 1.5| ≈ 0.17

Итак, расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD, составляет около 0.17.