Пусть обозначим основания трапеции как a и b, высоту как h, а длину диагонали как d.

Так как одна из диагоналей делит трапецию на два равнобедренных треугольника, то основания треугольника равны и равны половине оснований трапеции: (a = \frac{b}{2}).

Также из условия известно, что эта диагональ делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Поэтому длины сторон треугольника равны половине диагонали: (h = \frac{d}{2}).

Теперь мы можем записать выражение для площади трапеции:
[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}]

Подставив известные нам значения, получим:
[S = \frac{(a + 2a) \cdot \frac{d}{2}}{2}]
[S = \frac{3a \cdot \frac{d}{2}}{2}]

Так как b = 2a, то b = 8. Теперь осталось найти длину диагонали d, используя теорему Пифагора:
[h^2 = (\frac{b - a}{2})^2 + d^2]
[4^2 = (\frac{8 - 4}{2})^2 + d^2]
[16 = 1 + d^2]
[d = 5]

Теперь подставляем все значения в формулу для площади трапеции и получаем:
[S = \frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{5}{2}}{2} = 15]

Итак, площадь этой трапеции равна 15.