Для начала найдем длины отрезков AM и BM.

Так как О - центр вписанной окружности, отрезки AM, BM и CM являются радиусами этой окружности. Поэтому радиус окружности равен 6 см и равен расстоянию от точки O до сторон треугольника.

Теперь можем найти длины отрезков AM и BM с помощью теорем Пифагора:

AM = √(AC^2 - CM^2) = √(12^2 - 6^2) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см

BM = √(BC^2 - CM^2) = √(BC^2 - 6^2) = √(BC^2 - 36)

Так как в треугольнике BCM угол при вершине C -- прямой, то известно, что BC = BM + CM

Поэтому, можем найти BM:

BM = √(BC^2 - 36) = √((BM + 8)^2 - 36) = √(BM^2 + 16BM + 64 -36) = √(BM^2 + 16BM + 28)

Таким образом, у нас получается квадратное уравнение относительно BM:

BM^2 + 16BM + 28 - BM = 0

BM^2 + 15BM + 28 = 0

(BM + 4)(BM + 11) = 0

BM = -4 см (отбрасываем отрицательный результат)

BM = 11 см

Теперь можем найти периметр треугольника АВС:

Периметр = AB + BC + AC
Периметр = AM + BM + AC
Периметр = 6√3 + 11 + 12
Периметр = 6√3 + 23

Таким образом, периметр треугольника АВС равен 6√3 + 23 см.