Для нахождения боковой стороны s правильной треугольной пирамиды с площадью основания s и плоским углом при вершине 90 градусов, следует воспользоваться формулой площади боковой поверхности:

Sб = 0.5 p s,

где Sб - площадь боковой поверхности, p - периметр основания, s - боковая сторона. Известно, что основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, а его площадь равна s. Также, в равностороннем треугольнике все стороны равны, а площадь равностороннего треугольника можно выразить через длину его стороны a:

s = a^2 * sqrt(3) / 4

Из условий задачи известно, что площадь основания s = a^2 * sqrt(3) / 4

Следовательно, s = a^2 * sqrt(3) / 4

Так как площадь основания равна s и треугольник равносторонний, то периметр основания p = 3a. Также, так как угол при вершине равен 90 градусов, то высота h равна a. Тогда по теореме Пифагора:

s = a^2 sqrt(3) / 4
a h = a sqrt(2) = a sqrt(3) / 2
s = 3a^2 / 4

Теперь можно подставить значения в формулу площади боковой поверхности:

Sб = 0.5 3a sqrt(3) / 4 = 3a * sqrt(3) / 8

Поэтому, боковая сторона s равна 3a * sqrt(3) / 8.