Пусть дан четырехугольник ABCD, описанный около окружности радиуса R. Предположим, что стороны AB, BC и CD равны между собой, то есть AB = BC = CD = x.

Так как четырехугольник описан около окружности, то углы, образованные его противоположными сторонами, будут смежными. Таким образом, углы ABC и ADC равны, так как являются углами, описанными над одной дугой окружности.

Так как углы ABC и ADC равны, а углы CAB и CAD равны из-за равенства сторон AC и AB (они равны радиусу окружности), то треугольники ABC и ADC равнобедренные. Из равнобедренности следует, что углы ACB и ACD равны, и поэтому треугольник ACD также равнобедренный.

Из равнобедренности треугольников следует, что AC = CD. Но так как AB = BC = CD = x, то получаем, что AC = x. Таким образом, все четыре стороны четырехугольника ABCD равны между собой.