Обозначим точку B как точку пересечения наклонной AB с плоскостью α, а точку С как точку пересечения наклонной AC с плоскостью α.

Так как угол между наклонной и плоскостью равен 45° и 60°, то мы имеем прямоугольный треугольник ABH, где H - проекция точки B на плоскость α, и прямоугольный треугольник АСК, где K - проекция точки C на плоскость α.

Так как угол между проекциями наклонных равен 150°, то угол между наклонными ABC и АCK равен 30°. Таким образом, треугольник АСК также является прямоугольным.

Из этого следует, что COS(30°) = 9/AC, или AC = 18/√3.

Также, AC = AK + KC, где AK = ABcos(45°) = 9√2, а KC = ACsin(30°) = 9. Таким образом, выражая AC через AK и KC, мы получаем 18/√3 = 9√2 + 9. Решив это уравнение, получаем AK = 3√2 и KC = 3.

Теперь находим расстояние между точками B и C: BC = √(BK^2 + KC^2) = √((9√2)^2 + 3^2) = √(162 + 9) = √171 = 3√19.

Итак, расстояние между точками B и C равно 3√19.