Поскольку точка касания B лежит на касательной и радиус ОB перпендикулярен касательной в точке B, то треугольник OBD является прямоугольным.

Также из условия известно, что (\angle BOD = 45) градусов, поэтому угол ОBD также равен 45 градусов (так как угол между радиусом и касательной равен углу между касательной и касательной, проходящей через этот радиус).

Теперь можно использовать тригонометрические функции для нахождения длины отрезка ОD.

Мы знаем, что (\cos 45 = \frac{OB}{OD}).

Так как OB = R = 4 см, то (\cos 45 = \frac{4}{OD}).

Отсюда получаем, что (OD = \frac{4}{\cos 45} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}) см.

Итак, длина отрезка ОD равна (4\sqrt{2}) см.