Пусть сторона ромба равна а см, тогда диагонали ромба равны 2а и 2а см, соответственно.

Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к стороне, делит ее на отрезки 1 и 9 см, то получаем, что каждая сторона ромба делится на 10 равных отрезков.

Так как перпендикуляр делит диагонали пополам, то получаем, что одна из диагоналей равна 2,5 а, а другая - 2,5 а.

Площадь ромба можно выразить через диагонали следующим образом:

S = (d1 * d2) / 2,

S = (2,5а * 2,5а) / 2 = 6,25а^2.

Так как длина отрезка стороны ромба равна 10, то а = 1 см.

Подставляем значение а в формулу площади ромба:

S = 6,25 * 1 = 6,25 см^2.

Ответ: площадь ромба равна 6,25 квадратных сантиметра.