Давайте обозначим меньший катет прямоугольного треугольника за x.

Из условия задачи мы знаем, что высота треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 1 и 8. Таким образом, по теореме Пифагора, можем записать:

$$x^2+(x+8{)}^2=h^2$$

где h - высота треугольника, x - меньший катет.

Из условия задачи также известно, что $h^2=65$, так как гипотенуза делится высотой на отрезки 1 и 8.

Подставляем это значение в уравнение:

$$x^2+(x+8{)}^2=65$$

При раскрытии скобок получаем:

$$x^2+x^2+16x+64=65$$

$$2x^2+16x-1=0$$

Теперь можем решить квадратное уравнение методом дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

$$D=16^2-4<em>2</em>(-1)=256+8=264$$

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \surd D}{2a}$$

$$x_{1,2}=\frac{-16\pm \surd 264}{4}$$

$$x_1=\frac{-16+\surd 264}{4}\approx 0.387$$

$$x_2=\frac{-16-\surd 264}{4}\approx -8.387$$

Меньший катет треугольника составляет примерно 0.387.