Обозначим основание треугольной пирамиды как треугольник ABC, где BC – основание, а высота пирамиды h.

Треугольник ABC является прямоугольным, так как он является основанием треугольной пирамиды.

Тогда по определению апофемы прямоугольного треугольника:
L = sqrt$(BC/2{)}^2+h^2$

Также, tan$a$ = BC/$2h$

Отсюда, находим BC и h:
BC = 2htan$a$ h = BC/$2</em>tan(a)$

Подставляем h в формулу апофемы:
L = sqrt$(BC/2{)}^2+(BC/(2\ast tan(a)){)}^2$

Преобразуем формулу, чтобы найти BC:
L = sqrt$(B{C}^2/4)+B{C}^2/(4<em>tan(a){)}^2$ L^2 = BC^2/4 + BC^2/$4</em>tan(a)$^2
4L^2 = BC^2 + BC^2/tan$a$^2
4L^2 = BC^2*$1+1/(tan(a){)}^2$ BC^2 = 4L^2/$1+1/(tan(a){)}^2$ BC = sqrt$4L^2/(1+1/(tan(a){)}^2)$ BC = 2L/sqrt$1+1/(tan(a){)}^2$ BC = 2L/cos$a$

Теперь, найдем площадь основания пирамиды:
S_осн = 0.5 BC h
S_осн = 0.5 2L/cos$a$ BC/$2<em>tan(a)$ S_осн = L^2/$tan(a)</em>cos(a)$

Таким образом, объем треугольной пирамиды:
V = S_осн h /3
V = L^2/$tan(a)</em>cos(a)$ BC/$2</em>tan(a)$/3
V = L^2/$tan(a)<em>cos(a)$ 2L/cos$a$/$2<em>3$ V = L^3/$3</em>tan(a)$