Для начала найдем длину диагонали боковой грани прямоугольного параллелепипеда.

Пусть d1 - длина диагонали боковой грани. Так как основание прямоугольного параллелепипеда - квадрат со стороной 6 см, то диагональ основания будет равна d = 6√2 см.

Так как боковая грань параллелепипеда является прямоугольным треугольником со сторонами d, h и d1 (где h - высота параллелепипеда), то применяя теорему Пифагора, можно найти длину диагонали боковой грани:
d1^2 = d^2 + h^2
d1^2 = (6√2)^2 + h^2
d1^2 = 72 + h^2

Теперь найдем расстояние от вершины А до середины отрезка A1C1. Оно равно половине диагонали основания BCD1A1:
AC1 = 0.5 d
AC1 = 0.5 6√2
AC1 = 3√2 см

Итак, расстояние от вершины А до середины отрезка A1C1 равно 3√2 см.