Для начала найдем площадь одного бокового треугольника призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей всех боковых поверхностей. Так как у прямой призмы все боковые поверхности равны между собой, то площадь одной боковой поверхности равна общей площади разделенной на количество боковых поверхностей. У нас есть только одна боковая поверхность, следовательно:

Площадь одной боковой поверхности = 96 дм^2

Площадь боковой поверхности = площадь 2х треугольников

Площадь одного треугольника = 96 / 2 = 48 дм^2

Теперь найдем высоту бокового треугольника. Так как основание треугольника - ромб, разобьем ромб на два равносторонних треугольника:

h(треугольник) = h(ромб) * sin( 30 )

h(треугольник) = 4 * sin( 30 )

h(треугольник) = 4 * 0.5 = 2 дм

Так как у треугольника равные высоты и острый угол, то мы имеем равносторонний треугольник.
Также в равностороннем треугольнике медиана-высота-биссектриса совпадают, и преобразовав соотношение длин в правильный треугольник, высота у равностороннего треугольника будет равна a * sqrt(3) / 2, где 'a' - длина стороны.

Получим:

h(боковой треугольник) = 2 sqrt(3) / 2 = 2 1.7321 / 2 = 1.7321 дм

Теперь найдем длину стороны треугольника. Ранее было найдено, что высота треугольника равна 1.7321 дм.
Так как у равностороннего треугольника стороны одинаковы и высота - это медиана, длина медианы равна:

база(основание треугольника) / 2 = аг * sqrt(3) / 2

Решив уравнение, получим:

г = 1.7321 * 2 / sqrt(3) = 3.4642 / 1.7321 = 2 дм

Теперь найдем высоту всей призмы. Поскольку у прямой призмы на основании ромб, высота которой - это биссектриса угла

h = 2 h(треугольника) + h(ромб) = 2 1.732 + 4 = 3.4642 + 4 = 7.4642 дм

Ответ: высота прямой призмы равна 7.4642 дм.