Для правильного многоугольника с (n) сторонами выполняются следующие формулы:

Периметр многоугольника: ( P = n \cdot a ), где ( a ) - длина стороны многоугольника.Сумма всех внутренних углов: ( S = (n - 2) \cdot 180^\circ ), где ( n ) - количество сторон многоугольника.

Из условия задачи мы знаем, что периметр многоугольника равен 100 см, а сумма всех внутренних углов равна 1440 градусов. Для удобства переведем градусы в радианы, используя формулу ( 180^\circ = \pi ) радианов.

Теперь мы можем записать уравнения:

( P = n \cdot a = 100 ) см,( S = (n - 2) \cdot \pi = 1440 ).

Решим первое уравнение относительно длины стороны: ( a = \frac{100}{n} ) см. Подставим это значение во второе уравнение:

[ (n - 2) \cdot \pi = 1440 ]

[ n - 2 = \frac{1440}{\pi} ]

[ n = \frac{1440}{\pi} + 2 ]

[ n \approx 458.41 ]

Так как количество сторон должно быть целым числом, ближайшее целое число к ( n ) равно 458. Подставим его обратно в первое уравнение:

[ a = \frac{100}{458} \approx 0.2182 \, \text{см} ]

Поэтому, длина стороны правильного многоугольника составляет около 0.2182 см.