Площадь правильного 12-угольника можно найти, разделив его на 12 равносторонних треугольников. Таким образом, каждый угол в таком треугольнике равен 360 градусов / 12 = 30 градусам.

Рассмотрим половину одного такого треугольника, состоящую из двух равносторонних треугольников. Такая фигура напоминает равнобедренный треугольник. Одно из оснований такого треугольника является радиусом описанной окружности, а другая сторона равна стороне 12-угольника, то есть 6 см.

Для нахождения площади такого треугольника будем использовать формулу для площади равнобедренного треугольника по формуле S = 0,5 a h, где a - длина одного из оснований (радиус описанной окружности), h - высота, проведенная к основанию.

Так как угол в основании равный 30 градусам, то основание мы можем разделить на две равные части и получить прямоугольный треугольник. Поэтому h = r sin(30 градусов) = r 0,5, где r - радиус описанной окружности.

Из условия задачи a = r, поэтому S = 0,5 r r sin(30 градусов). Так как sin(30 градусов) = 0,5, подставляем в формулу и получаем S = 0,5 r r 0,5 = 0,25 * r^2.

Так как у нас 12 равных таких треугольников, то общая площадь правильного 12-угольника равна S = 12 S = 12 0,25 r^2 = 3 r^2.

Площадь круга радиуса R равна: S = π * R^2. Найдем R из условия, что длина стороны правильного 12-угольника равна 6 см. Так как сторона равностороннего треугольника (основание равнобедренного треугольника) равна R, то R = 6 см.

Теперь подставляем значение R в формулу площади круга: S = π * (6)^2 = 36π.

Ответ: площадь круга, описанного около правильного 12-угольника, равна 36π квадратных сантиметров.