плоскости MABCD проведена прямая, пересекающая ребро DC в точке N. Найдите длину отрезка LN.

Для начала обратимся к треугольнику MOA. Так как MF – медиана в треугольнике MCD, то длина ME равна половине длины основания CD. Так как MO – высота, то угол EMO прямой. Значит, треугольник MOA прямоугольный. Так как треугольник MOA прямоугольный и треугольник MCD прямоугольный, то они подобны и можно составить пропорции:

[ \frac{MO}{ME} = \frac{MA}{MC} ]
[ \frac{4}{2} = \frac{MA}{MC} ]
[ 2 = \frac{MA}{MC} ]

Теперь обратимся к треугольнику MAL. Так как ML является медианой в треугольнике MAO, то длина ML равна половине длины основания AO. Так как угол AMO прямой, то треугольники MAL и MCN подобны по признаку углов, и можно составить пропорции:

[ \frac{ML}{CN} = \frac{MA}{MC} ]

Так как MA/MC = 2, то:

[ \frac{ML}{CN} = 2 ]

Теперь рассмотрим треугольник DCO. Так как угол DCN прямой, то треугольники MAL и DCN подобны по двум признакам. Так как ML/CN=2, то NL = LM = ML/2 = CN/2. Так как угол DCN прямой, то медианы DN и ML равны.

Итак, LN = ML/2 = CN/2.