Обозначим ребро AD как а, а диагонали DA1 и DC1 как d1 и d2, соответственно.

Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен углу между диагональю и ребром, то получаем, что tg α = a / d1. Заметим, что треугольник ACD1 является прямоугольным, поэтому можно применить теорему Пифагора: d1^2 = a^2 + d2^2.

Таким образом, tg α = a / d1 = a / √(d1^2 - a^2) => d1^2 - a^2 = a^2 / tg^2 α => d1^2 = a^2 / tg^2 α + a^2.

Аналогично, для угла β получаем: d2^2 = a^2 / tg^2 β + a^2.

Теперь найдем объем параллелепипеда: V = abc = a d1 d2 = a √(d1^2 - a^2) √(d2^2 - a^2) = a √(a^2 / tg^2 α + a^2 - a^2) √(a^2 / tg^2 β + a^2 - a^2).

Simplifying, we get: V = a √(a^2 / tg^2 α) √(a^2 / tg^2 β) = a^2 / (tg α * tg β).

Таким образом, объем параллелепипеда равен a^2 / (tg α * tg β).