Пусть точка к принадлежит отрезку АВ (на продолжении стороны АС), а точка м принадлежит отрезку ВС.

Так как в треугольнике АВК и треугольнике АМС углы КАВ и МАС прямые, то данные треугольники являются прямоугольными.

Из прямоугольности треугольников следует, что треугольники АВК и АМС будут подобны по двум углам.

Значит, ( \angle KАB = \angle MАC ) и ( \angle КВA = \angle МСА ).

Так как точки В и М лежат на одной окружности с окружностью, касающейся сторон АВ и АС треугольника АVS в точке К и M соответственно, то углы КBV и MSA опираются на равные дуги касательной к окружности. Следовательно, углы КBV и MSA равны.

Из этого следует, что углы ( \angle AVB ) и ( \angle AMS ) равны как вертикальные углы, следовательно, треугольники АВК и АМС равны.

То есть, АВ = АМ = АС, и теорема доказана.