Для решения задачи построим высоту треугольника ABC, опущенную из вершины A на плоскость, проходящую через сторону BC под углом 30° к плоскости треугольника.

Так как угол С равен 150°, то угол B равен 180° - 30° - 150° = 0°. Следовательно, прямая, проходящая через точки B и C, и плоскость BC равны, то есть плоскость, под углом 30° к плоскости треугольника, пересекает сторону ВС в точке С.

Поскольку угол между прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника и прямой, проходящей через вершину А, равен 30°, а угол С равен 150°, то угол между АС и АИ (где I - точка пересечения прямой с плоскостью) равен 180° - 30° - 150° = 0°. АИ - высота треугольника и равна искомому расстоянию.

Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то tg 30° = AI / AC. Получаем AI = AC tg 30° = 6 (1 / √3) = 2√3.

Итак, расстояние от вершины А до плоскости, проходящей под углом 30° к плоскости треугольника, составляет 2√3.