Пусть длина более короткой диагонали ромба равна 2а, а длина более длинной диагонали равна 2b.

Так как расстояние от точки пересечения диагоналей до вершин равно 5 и 7 см, то мы можем записать следующие уравнения:

(a^2 + b^2)^0.5 = 5 (1)
(a^2 + b^2)^0.5 = 7 (2)

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

a^2 + b^2 = 25 (3)
a^2 + b^2 = 49 (4)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

49 - 25 = b^2 - a^2
24 = (b - a)(b + a)

24 = 2(b + a)
12 = b + a

Теперь решим систему уравнений (3) и (4)

a = 5
b = 7

Таким образом, длина более короткой диагонали ромба - 10 см, а длина более длинной диагонали - 14 см.