Теорема о сумме углов треугольника: Сумма всех углов внутри треугольника равна 180 градусов.

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем высоту AD из вершины A к стороне BC. Так как угол ADC является прямым, то угол ABC и угол ACB дополняют его до 180 градусов. То есть угол ABC + угол ACB = 180 градусов.

Аналогично, проведя высоты из вершин B и C, получим, что угол BAC + угол BCA = 180 градусов и угол ABC + угол BCA = 180 градусов.

Сложив эти уравнения, получим: угол ABC + угол ACB + угол BAC + угол BCA = 360 градусов. Но углы ABC, ACB и BAC + BCA соответственно равны углам A, B и C треугольника ABC.

Таким образом, сумма всех углов внутри треугольника равна 180 градусов.

Внешний угол треугольника - это угол, образованный продолжением одной из сторон треугольника за ее вершину и другой стороной. То есть, если треугольник ABC имеет внешний угол в точке D, то угол D равен сумме двух углов A и C.

Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC с внешним углом в точке D. Заметим, что угол ABD и угол A равны, так как они дополняют друг друга до 180 градусов, аналогично угол BCD и угол C равны.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD + угол B + угол D = 180 градусов (сумма углов в треугольнике). Подставляя равенства углов ABD и B, получим: угол A + угол B + угол D = 180 градусов.

Аналогично, для треугольника BCD получаем, что угол D + угол C + угол B = 180 градусов.

Сложим эти два уравнения: угол A + угол B + угол D + угол D + угол C + угол B = 360 градусов. Сокращая одинаковые углы, получаем: угол D = угол A + угол C. То есть внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.