Пусть дан треугольник ABC, высота BD и биссектриса BE проведены из вершины B.

Пусть CBA и ABC - углы треугольника ABC, тогда угол между высотой и биссектрисой равен углу DBE (так как обе линии проходят через вершину B).

Также из теоремы о биссектрисе угол DBE равен углу ABE.

По свойству треугольника ABC сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому получаем:
CBA + ABC + ACB = 180 градусов.

Учитывая, что углы ABC и ACB равны по построению биссектрисы, получаем:
2ABC + CBA = 180 градусов.

Отсюда следует, что:
ABC = (180 - CBA) / 2,

что и является полуразностью двух других углов треугольника.

Таким образом, угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен полуразности двух других его углов.