Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где с – гипотенуза.

Точка касания окружности со стороной AB обозначена как F, со стороной AC – T, со стороной BC – K.

Так как окружность вписана в треугольник, то TF = TK = x, BF = TB = y, AK = AF = z.

Также из условия задачи известно, что AK + TB = 10. После подстановки заметим, что 2z = 10, т.е. z = 5.

Теперь рассмотрим подобный прямоугольный треугольник AFT. Тогда можно написать:

z/y = (c-x)/z

5/y = (c-x)/5

c - x = 5y

Также рассмотрим подобный прямоугольный треугольник CTK. Тогда можно написать:

z/x = (c-y)/z

5/x = (c-y)/5

c - y = 5x

Теперь сложим два уравнения, получим:

c = 5(x+y)

Также из подобия треугольников имеем:

c/y = 5/y

c/x = 5/x

Отсюда можно найти x и y:

c = 5(x+y)

5(x+y)/y = 5/y

5x + 5y = 5

x + y = 1

Теперь найдем с помощью системы уравнений x и y. x + y = 1, x = (1 - y)

5 - 5y + y = 1

-4y = -4

y = 1

Теперь найдем x = 0. Длина стороны AC = AF + CF = z + x = 5 см.

Ответ: длина гипотенузы треугольника равна 5 см.