Пусть O - центр окружности. Так как окружность касается сторон угла B в точках A и C, то угол между этими сторонами равен углу между касательными, проведенными в точках касания, то есть углу BOC.

Так как BO=2AO, то угол BOC в два раза больше угла AOB, а угол AOC в два раза больше угла AOB. Таким образом, угол AOC равен 2*30 = 60 градусов.

Заметим, что треугольник AOC - равносторонний, так как радиус окружности является также высотой треугольника AOC, а значит, AO=CO=6, так как треугольник AOC равносторонний.

Теперь найдем площадь треугольника AOC. По формуле для площади равностороннего треугольника:

S = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае a = 6, поэтому S = (6^2 * √3) / 4 = 9√3.

Итак, площадь треугольника AOC равна 9√3.