Предположим, что все углы выпуклого четырехугольника являются острыми (углы меньше 90 градусов).

Пусть A, B, C и D - вершины четырехугольника, а α, β, γ и δ - углы при вершинах A, B, C и D соответственно.

Рассмотрим два треугольника: △ABC и △BCD. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому:

α + β + ∠C = 180 градусов,
∠C + γ + δ = 180 градусов.

Сложим обе эти равенства:

(α + β + ∠C) + (∠C + γ + δ) = 360 градусов,
α + β + ∠C + ∠C + γ + δ = 360 градусов.

Учитывая, что сумма всех углов четырехугольника равна 360 градусов:

α + β + γ + δ = 360 градусов.

Но это означает, что сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, что противоречит начальному предположению о том, что все углы четырехугольника являются острыми. Следовательно, хотя бы один угол четырехугольника должен быть тупым.