В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 12, боковые рёбра 13. Около пирамиды описана сфера. Докажите что центр сферы лежит на высоте пирамиды. Найдете расстояние от центра сферы до плоскости основания

3 Ноя 2021 в 19:41
86 +1
0
Ответы
1

Для начала обозначим вершину пирамиды как $A$, основание как $BCDE$, где $BC = CD = DE = EB = 12$, боковые рёбра как $AB = AC = AD = AE = 13$.

Поскольку пирамида правильная, то проведём медиану $AM$, где $M$ - середина ребра $BC$. Поскольку у нас правильная пирамида, то $AM$ - высота пирамиды.

Сначала найдем высоту пирамиды. Используем теорему Пифагора для треугольника $ABC$:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

$13^2 = 13^2 - 12^2$

$169 = 169 - 144$

$25 = 144$

$BC = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, длина медианы $AM$ равна $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Сфера описана около пирамиды, следовательно, её центр лежит на медиане $AM$ внутри пирамиды.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости основания, возьмем прямоугольный треугольник, где один из катетов – это расстояние от центра сферы до основания (обозначим эту длину как $h$), а гипотенуза – это радиус сферы:

$13^2 = h^2 + 6^2$

$169 = h^2 + 36$

$h^2 = 169 - 36$

$h^2 = 133$

$h = \sqrt{133}$

Итак, центр сферы лежит на высоте пирамиды, а расстояние от центра сферы до плоскости основания равно $\sqrt{133}$.

17 Апр 2024 в 09:08
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Прямой эфир