Пусть точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции обозначена как точка М, а середина большего основания как точка О.

Так как углы при большем основании трапеции равны 53° и 37°, то треугольник AOB, где A и B - вершины основания трапеции, является равнобедренным.

Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что медиана проведена из вершины угла имеет длину равную половине основания треугольника. Значит, длина AM равна половине длины основания трапеции (18 см), то есть 9 см.

Теперь нам нужно найти расстояние от точки М до точки О, которая является серединой большего основания трапеции. Это можно сделать, применив теорему Пифагора к треугольнику MOB.

Сначала найдем длину медианы BM. Так как треугольник AMB также является равнобедренным, то BM равен AM, то есть 9 см.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора:
(OM)^2 = (OB)^2 - (BM)^2
(OM)^2 = 18^2 - 9^2
(OM)^2 = 324 - 81
(OM)^2 = 243
OM = √243
OM ≈ 15,59 см

Итак, расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины большего основания трапеции равно примерно 15,59 см.