Поскольку высоты пересекаются в точке Р, то треугольник АРМ подобен треугольнику АВК по принципу "боковая сторона треугольников параллельна". Таким образом, отношение сторон треугольников равно отношению высот, проходящих к соответсвующим сторонам.

Пусть h1 - высота АМ, h2 - высота ВК. Тогда

h1/h2 = AM/VK = AR/AB

h1/h2 = 15/x = 24/(x+20)

15(x+20) = 24x
15x + 300 = 24x
9x = 300
x = 300/9
x ≈ 33.33

Итак, VK ≈ 33.33.

По теореме о касательных, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, угол AOC будет прямым.

AC = r (так как прямая АС касается окружности в точке С)

Таким образом, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOC:

r^2 + r^2 = AO^2
2r^2 = AO^2
sqrt(2r^2) = sqrt(AO^2)
sqrt(2)*r = AO

Итак, радиус окружности равен r*sqrt(2).