Пусть а - сторона основания правильной четырехугольной пирамиды.

Так как диагональное сечение пирамиды является равносторонним треугольником, то его высота равна h = b√3/2.

Рассмотрим правильный треугольник, образованный боковыми ребрами пирамиды и радиусом вписанной в него сферы:

1) Высота этого треугольника равна h = b√3/2.

2) Опускаем высоту h на основание пирамиды. Получаем прямоугольный треугольник со сторонами h, a/2, r, где r - радиус вписанной в треугольник сферы.

3) Применяем теорему Пифагора для этого треугольника:

(h^2 + (a/2)^2) = (r + b/2)^2

(b√3/2)^2 + (a/2)^2 = (r + b/2)^2

3b^2/4 + a^2/4 = r^2 + b^2/4 + br + b^2/4

3b^2/2 + a^2/2 - b^2/2 = r^2 + br

r^2 + br = 3/2b^2 + 1/2a^2

Так как пирамида правильная, то a = √2b, подставляем это значение:

r^2 + b√2r = 3b^2 + 2b^2

r^2 + b√2r = 5b^2

решая данный уравнение , можно найти значение радиуса сферы.