Обозначим высоту конуса через h. Так как вершина конуса является точкой пересечения всех боковых граней пирамиды, то прямая, проведенная из вершины конуса к середине гипотенузы прямоугольного треугольника, является высотой пирамиды. Пусть этот отрезок равен r.

Таким образом, мы получаем, что в правильной непрямоугольной пирамиде для высоты h справедливо равенство:
$$h = \dfrac{r}{tg(\alpha)} = \dfrac{a}{tg(\alpha)}.$$

Объем конуса можно найти по формуле:
$$V = \dfrac{1}{3}S{\text{осн}} \cdot h,$$
где $$S{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} a^2.$$

Тогда, подставляя найденное значение h в формулу для объема конуса, получаем:
$$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} a^2 \cdot \dfrac{a}{tg(\alpha)} = \dfrac{1}{6} \cdot a^3 \cdot \dfrac{1}{tg(\alpha)} = \dfrac{a^3}{6\cdot tg(\alpha)}.$$