Пусть $h = 6$ см - высота трапеции, $a = 9$ см - большее основание, $b$ - меньшее основание.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

Площади полученных треугольников: $$\frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 6 = 3b$$ и $$\frac{1}{2} \cdot (a - b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (9 - b) \cdot 6 = 27 - 3b$$

Таким образом, площади полученных треугольников относятся как 2:3: $$3b : 27 - 3b = 2 : 3$$

Решаем уравнение:

$$3b = 2(27 - 3b)$$
$$3b = 54 - 6b$$
$$9b = 54$$
$$b = 6$$

Теперь подставляем найденное значение $b$ в формулу для площади трапеции:

$$S = \frac{9 + 6}{2} \cdot 6 = \frac{15}{2} \cdot 6 = 45 \, \text{см}^2$$

Итак, площадь трапеции равна 45 квадратным сантиметрам.