Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а h1, h2 и h3 - высоты, опущенные на эти стороны.

Так как вписанная окружность имеет радиус 1, то расстояния от центра окружности до сторон треугольника равны радиусу окружности. То есть:

S = p*r,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника (a+b+c)/2, r - радиус вписанной окружности (в данном случае равен 1).

Площадь треугольника можно выразить через его стороны и высоты:

S = (ah1)/2 = (bh2)/2 = (c*h3)/2.

Из этого следует, что:

p = 2S/(a+b+c),

где S = (a*h1)/2.

Далее, подставляем полученные выражения в формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

(a+h1+c)h1/2 = (a+b+c)1/2,

ah1 + h1^2 + ch1 = a + b + c.

Подставляем выражение для S:

ah1 + h1^2 + ch1 = (ah1 + bh1 + ch1)2/(a+b+c).

Домножаем обе части уравнения на a+b+c, а затем раскрываем скобки:

a^2 + ah1 + ab + bh1 + ca + ch1 = 2ah1 + 2bh1 + 2c*h1.

Далее, приведя подобные, получим:

a^2 + ab + ca = bh1 + c*h1,

a^2 + bc = h1(b+c),

a = sqrt(h1*(b+c)).

Аналогично найдем b и c:

b = sqrt(h2(a+c)),
c = sqrt(h3(a+b)).

Таким образом, стороны треугольника равны sqrt(h1(b+c)), sqrt(h2(a+c)) и sqrt(h3*(a+b)).