Формулировка. Пусть на окружности заданы точки $A,B$ (хорда $AB$ фиксирована). Пусть $CD$ — перемещающаяся хорда окружности, пересекающая $AB$ в точке $X$. Обозначим точку пересечения касательных к окружности в $A$ и $B$ через $T$. Тогда квадрилатерал $ABCD$ является гармоническим тогда и только тогда, когда точка $X$ — гармоническая сопряжённая точки $T$ относительно отрезка $AB$, т.е.
$$(A,B;C,D)=-1⟺(A,B;X,T)=-1.$$
Доказательство (кратко). Напомним два факта:
1) Для четырёх точек на окружности определённый через углы кросс-отношение можно записать через дроби синусов; конкретно, для точек $A,B,C,D$ на окружности
$$(A,B;C,D)=\frac{\sin \angle CAD/\sin \angle CBD}{\sin \angle CAB/\sin \angle CBB}(\text{в подходящей записи}).$$ 2) Теорема о касательной и хорде: угол между касательной в точке $A$ и хордой $AC$ равен углу вписанному, опирающемуся на дугу $AC$.
Возьмём уголовую пучковую проекцию с вершины $X$: лучи $XA,XB,XC,XD$ задают пучок линий; соответствующие им пересечения с окружностью дают точки $A,B,C,D$. Аналогично рассмотрим пучок линий с вершины $T$: лучи $TA,TB,TC,TD$. По касательно-хордовой теореме углы при вершинах $X$ и $T$, которые дают пары линий к $A,B,C,D$, связаны так, что отношение синусов углов при проекции с вершины $X$ равно отношению синусов для проекции с вершины $T$. Отсюда получается равенство кросс-отношений
$$(A,B;C,D)=(A,B;X,T).$$ Следовательно требуемое условие $(A,B;C,D)=-1$ эквивалентно $(A,B;X,T)=-1$, то есть точка $X$ должна быть гармонической сопряжённой точки $T$ относительно $A,B$. (Это стандартный проектно-полярный аргумент: проекция/полярность сводит вопрос о четырёх точках на окружности к вопросу о четырёх точках на прямой $AB$.)
Конструкция хорд $CD$, дающей гармонический квадрилатерал.
1. Проведём касательные к окружности в $A$ и $B$, они пересекутся в точке $T$.
2. Построим гармоническую сопряжённую $X$ точки $T$ относительно пар $A,B$. Одна стандартная конструкция: возьмём произвольную точку $P$ на окружности (не равную $A,B$); проведём через $P$ хорды $PA$ и $PB$. Пусть $U=PA\cap$ касательная в $B$, $V=PB\cap$ касательная в $A$. Тогда прямая $UV$ пересекает $AB$ в искомой точке $X$. (Это классическая конструкция гармонической сопряжённой через «квадрилатераль касательных».)
3. Через найденную точку $X$ проведём прямую, пересекающую окружность в точках $C$ и $D$ (в любой её позиции; именно эта хорда $CD$ даст гармонический квадрилатерал).
Короткая проверка: по построению $(A,B;X,T)=-1$, значит $(A,B;C,D)=-1$, значит $ABCD$ — гармонический.
Применения понятия гармоничности (кратко):
- В проективной геометрии гармоничное деление — ключевой инвариант; используется для доказательства свойств проективных преобразований и инволюций на окружности.
- В планиметрии: связана с симмедианами в треугольнике (точки пересечения симмедиан дают гармоническое деление сторон), с задачами о касательных и вписанных углах.
- В конструктивных задачах: позволяет строить точки и прямые, сохраняющие проектные соотношения (напр., при построении причастных точек Понселе, при решении задач апполонова вида).
- В теории полярности: гармоничность выражает взаимные положения точек и их полярей относительно окружности.
Таким образом: условие — точка пересечения $X=AB\cap CD$ должна быть гармонической сопряжённой точки $T$ (пересечения касательных в $A,B$); конструкция — построить $T$, затем гармоническую сопряжённую $X$ и через неё провести хорду; приложения — широкие в проективной и элементарной геометрии.