Задача: найти геометрическое место точек $P$ (с координатами $(x,y)$ или комплексным $z=x+iy$), для которых сумма (орто)расстояний до двух фиксированных прямых $l_1,l_2$ равна константе $k$.
1) Векторно‑координатный (декартов) подход — общий вывод
- Пусть уравнения прямых заданы в нормальной форме
$$l_1:{\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{r}+c_1=0,l_2:{\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{r}+c_2=0,$$ где ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$ — единичные нормали, $\mathbf{r}=(x,y)$. Тогда расстояния:
$$d_1=|{\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{r}+c_1|,d_2=|{\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{r}+c_2|.$$ Условие задачи
$$|{\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{r}+c_1|+|{\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{r}+c_2|=k.$$ - Это равенство — сумма двух модулей двух линейных функций от $\mathbf{r}$. При фиксированных знаках выражений под модулями (четыре комбинации) уравнение становится линейным:
$$\pm ({\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{r}+c_1)\pm ({\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{r}+c_2)=k,$$ т. е. даёт по одной прямой для каждой комбинации знаков. Пересечение соответствующих отрезков даёт замкнутую ломаную из максимум четырёх сторон — в общем случае параллелограмм (или вырожденный случай).
- Частные случаи:
- Если $l_1$ и $l_2$ пересекаются (не параллельны), итоговый КМТ — параллелограмм (обычно ромб при симметрии), границы которого получаются из четырёх линейных уравнений. Пример: при координатных осях $l_1:x=0,l_2:y=0$ имеем
$$|x|+|y|=k,$$ что даёт ромб с вершинами $(\pm k,0),(0,\pm k)$.
- Если $l_1\parallel l_2$, то нормали совпадают: положим $t=\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}$. Тогда
$$|t+c_1|+|t+c_2|=k$$ — одномерная кусочно‑линейная функция. Пути: если $k<$ расстояние между прямыми, решений нет; если $k=$ расстояние, решения — весь полосовой промежуток между прямыми; если $k>$ расстояние, решения даёт две параллельные прямые (два значения $t$) — геометрически: две прямые, отстоящие от исходных на определённые смещения.
Вывод (векторный): анализ очевиден, сводится к разбору знаков, решение даёт явно линейные фрагменты; удобно вычислять вершины параллелограмма решением систем двух линейных уравнений.
2) Комплексные координаты — формулировка и пример
- В комплексной форме прямая задаётся уравнением вида
$$\Re (\overline{\alpha }z)=\beta ,$$ где $\alpha$ — комплекс, направление нормали (если $|\alpha |=1$), $\beta \in \mathbb{R}$. Расстояние до такой прямой (с $|\alpha |=1$) равна $|\Re (\overline{\alpha }z)-\beta |$. Для двух прямых
$$|\Re (\overline{{\alpha }_1}z)-{\beta }_1|+|\Re (\overline{{\alpha }_2}z)-{\beta }_2|=k.$$ - Это та же самая структура: сумма модулей двух линейных (по $z,\bar{z}$, но в данном случае только линейных по $\Re$) функций. При фиксированных знаках сначала избавляются от модулей и получают четыре линейных уравнения для $\Re (\overline{{\alpha }_i}z)$, т. е. снова набор прямых, образующих параллелограмм или вырожденные случаи.
- Пример (оси): возьмём ${\alpha }_1=1,{\alpha }_2=i,{\beta }_1={\beta }_2=0$. Условие
$$|\Re (z)|+|\Re (-iz)|=|x|+|y|=k,$$ опять даёт ромб — тот же результат, записанный компактно через комплексную запись.
3) Сравнение методов: удобство, ограничения, элегантность
- Удобство
- Вектор/декарт: прямолинейен для задач с расстояниями — формула расстояния через скалярное произведение даёт явную линейную задачу. Разбор знаков и решение систем линейных уравнений просты и наглядны. Удобно находить вершины, стороны и проверять вырожденные случаи (параллельность, отсутствующие решения).
- Комплексные координаты: компактная запись, естественна при поворотах и симметриях (вращение через умножение на $e^{i\theta }$ легко учитывать). Хороша, когда нужно комбинировать повороты/отражения и комплексные преобразования.
- Ограничения
- Оба метода требуют разбиения на случаи из‑за модулей (знаки выражений под модулем). Никакой «магии» не убирает обхода кусочной линейности.
- Комплексный метод даёт ту же по сути абсолютную‑линейную структуру, но иногда менее явно показывает геометрическую интерпретацию нормалей и направлений (для практических вычислений нужно всё равно переходить к вещественной части).
- Для более сложных расстояний (до кривых, по длине кривой и т. п.) и для аналитической геометрии комплексные методы сильнее, но для простых линейных расстояний они не дают существенного упрощения по сравнению с векторным подходом.
- Элегантность
- Комплексная запись эстетически компактна (особенно при симметриях и поворотах): один короткий формализм вместо двух реальных координат, удобен в теоретических выкладках.
- Векторная запись более интуитивна, прозрачна геометрически: видно, что получается сумма двух абсолютных линейных функций, легко строить параллелограмм и проверять вырожденные случаи.
4) Резюме практических рекомендаций
- Для задачи «сумма расстояний до двух прямых = const» наиболее прямым и практичным является векторно‑координатный (декартов) подход: он даёт немедленное представление о том, что уровень — параллелограмм или вырожденные случаи, и позволяет легко найти вершины.
- Комплексные координаты хороши для компактной записи и при задачах с поворотами/симметриями; они не устраняют необходимость разбиения на случаи, но иногда делают алгебру поворотов чище.
(Ключевая мысль: оба метода эквивалентны по силе; в конкретной задаче с прямыми векторный подход практичнее и более нагляден, комплексный — более компактный при работе с поворотами/симметриями.)