Установим координаты для удобства и докажем все утверждения вычислениями (они однозначно переносятся в любой аффинный базис).
Пусть $BC$ — фиксированный отрезок, его середина в начале координат, ось $x$ совпадает с $BC$. Обозначим $B(-b,0),C(b,0)$. Прямая $l$, по которой движется $A$, задаётся уравнением $y=kx+c$ (по условию $l$ не параллельна $BC$, значит $k\ne 0$). Параметризуем $A$ как
$$A(t,kt+c),t\in \mathbb{R}.$$
1) Центр тяжести (медианы).
По формуле для центра тяжести
$$G=\frac{A+B+C}{3}=(\frac{t}{3},\frac{kt+c}{3}).$$ Следовательно $G$ движется по прямой, параллельной $l$; её уравнение
$$y=kx+\frac{c}{3}.$$ (Это гомотетия прямой $l$ с коэффициентом $1/3$ при центре в начале координат, т.е. в середине $BC$.)
2) Описанный центр (циркумцентр) $O$.
Поскольку перпендикулярный биссектор $BC$ — это ось $y$ (линия $x=0$), любой $O$ лежит на $x=0$. Из уравнения равенства расстояний $OA=OB$ получаем
$$b^2+y_O^2=t^2+(kt+c-y_O{)}^2,$$ откуда
$$y_O=\frac{t^2+(kt+c{)}^2-b^2}{2(kt+c)}.$$ Следствие: множество возможных положений $O$ лежит на фиксированной прямой — перпендикулярном биссекторе $BC$ (в нашем координатном выборe это ось $x=0$); при изменении $t$ точка $y_O$ принимает (обычно) все значения на этой прямой (зависит от пересечения окружностей с $l$).
3) Ортоцентр $H$.
Высота из $A$ перпендикулярна $BC$, т.е. это вертикальная прямая $x=t$. Пересечение с высотой из $B$ даёт
$$y_H=-\frac{t^2-b^2}{kt+c}.$$ Значит ортoцентр
$$H=(t,-\frac{t^2-b^2}{kt+c}).$$ Устранив параметр $t$ (положив $x=t,y=y_H$) получаем уравнение геометрического места ортoцентров:
$$x^2+kxy+cy-b^2=0.$$ Это невырожденная коника второго порядка. Поскольку при $k\ne 0$ дискриминант квадратичной формы $B^2-4AC=k^2>0$, эта коника — гипербола.
4) Девятиточечная (Эйлерова) окружность и её центр $N$.
Центр девятиточечной окружности $N$ — середина отрезка $OH$. Пользуясь найденными координатами,
$$N=\frac{O+H}{2}=(\frac{t}{2},\frac{y_O+y_H}{2}).$$ Подставляя выражения для $y_O$ и $y_H$ и положив $x=\frac{t}{2}$ (т.е. $t=2x$), получаем уравнение геометрического места центров девятиточечных окружностей:
$$(k^2-1)x^2-2kxy+kcx-cy+\frac{b^2+c^2}{4}=0.$$ Это опять коника второго порядка; поскольку для $k\ne 0$ дискриминант квадратичной части равен $4k^2>0$, коника — гипербола (в частном случае $k=\pm 1$ гипербола может быть специального типа).
Дополнительные замечания (геометрические связи):
- На каждой позиции треугольника точки $O,G,H$ коллинеарны (Эйлерова прямая) и выполняется соотношение деления
$$OG:GH=1:2,H=3G-2O.$$ - Из этого следует представление центра девятиточечной окружности через центр тяжести: $N=\frac{3G-O}{2}$. Поэтому множество $N$ — аффинный образ прямой множества $G$ (смещение и растяжение вдоль направления, зависящего от положения $O$), что ещё раз согласуется с полученным уравнением коники.
- В проективно-аффинном смысле: при движении $A$ по прямой $l$ (не параллельной $BC$) центры $G$ описывают прямую, центры $O$ — фиксированную прямую (перпендикулярный биссектор $BC$), а центры $H$ и $N$ — невырожденные коники (при $k\ne 0$ — гиперболы), причём $N$ является серединами соответствующих отрезков $OH$.
Таким образом: при движении $A$ по прямой $l$ (не параллельной $BC$) центр тяжести описывает прямую (гомотетия $l$); центры описанных окружностей лежат на постоянном перпендикулярном биссекторе $BC$; ортoцентры и центры девятиточечных окружностей описывают коники второго порядка — в общем случае гиперболы с явными уравнениями, приведёнными выше. Эти уравнения получены непосредственным подсчётом в выбранной системе координат и дают полное доказательство заявленных утверждений.