Краткая формулировка результата. Все выпуклые четырёхугольники с диагоналями, перпендикулярными, и с $AB+CD=BC+DA$ — это ровно те выпуклые четырёхугольники, которые одновременно являются вписанными в окружность (имеют инкруг) и являются «кайтами» (две пары смежных равных сторон). Точнее: при обозначении касательных длин к инкругу $w,x,y,z$ (так что
$$AB=w+x,BC=x+y,CD=y+z,DA=z+w$$ ) условие перпендикулярности диагоналей и Pitot’а даёт либо $w=y$, либо $x=z$. Это эквивалентно либо $AB=BC$ и $CD=DA$, либо $BC=CD$ и $DA=AB$.
Доказательство разбито на три шага.
1) Pitot — эквивалентность с инкругом.
Для выпуклого четырёхугольника условие
$$AB+CD=BC+DA$$ является необходимым и достаточным условием существования окружности, касающейся всех четырёх сторон (теорема Пито). В этой ситуации вводим касательные длины $w,x,y,z$ так, как указано выше; тогда равенство Pitot автоматически выполняется.
2) Перпендикулярность диагоналей эквивалентна равенству сумм квадратов противоположных сторон.
Обозначим вершины по порядку $A,B,C,D$ и векторные смещения $AB=b,BC=c$. Тогда $AC=b+c,BD=d-b$ (где $d=AD$). Перпендикулярность диагоналей $AC\perp BD$ равносильна
$$(b+c)\cdot (d-b)=0.$$ Прямое преобразование даёт эквивалентность
$$A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+D{A}^2.$$ (Это стандартный алгебраический тождественный преобраз; при распаковывании скалярных произведений обе стороны приводятся к одному и тому же выражению.)
3) Совмещение Pitot и условия на квадраты даёт разложение через касательные длины.
Подставляем $AB=w+x,BC=x+y,CD=y+z,DA=z+w$ в равенство сумм квадратов:
$$(w+x{)}^2+(y+z{)}^2=(x+y{)}^2+(z+w{)}^2.$$ Раскрывая скобки и сокращая одинаковые члены получаем
$$2(wx+yz)=2(xy+zw)⟹wx+yz=xy+zw.$$ Перегруппировав, получаем
$$(x-z)(w-y)=0.$$ Отсюда либо $w=y$, либо $x=z$.
Если $w=y$, то по формулам для сторон
$$AB=w+x,BC=x+y=x+w\Rightarrow AB=BC,$$ и
$$CD=y+z=w+z,DA=z+w\Rightarrow CD=DA.$$ Аналогично при $x=z$ получаем $BC=CD$ и $DA=AB$. То есть четырёхугольник имеет две пары смежных равных сторон — это определение кайта; одновременно выполняется Pitot, значит имеется инкруг. Обратная импликация также очевидна: если, скажем, $AB=BC$ и $CD=DA$, то Pitot выполнено, и для такого кайта диагонали всегда перпендикулярны (свойство кайта).
Следствия и ключевые свойства. Для такого четырёхугольника справедливы:
- наличие инкруга и перпендикулярность диагоналей;
- одна диагональ (ось симметрии) является биссектрисой углов при её концах и делит другую диагональ пополам;
- площадь удовлетворяет одновременно формулам инкруга и ортодиагонального четырёхугольника:
$$S=rs=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD,$$ откуда $r=\frac{AC\cdot BD}{2s}$ (здесь $r$ — радиус инкруга, $s$ — полупериметр);
- частные случаи: если обе равности $w=y$ и $x=z$ выполняются, то все стороны равны — получается ромб (он и вписан, и ортодиагонален).
Итого: требуемый класс — это и только т.н. вписанные (т. е. с инкругом) kайт-четырёхугольники; аналитическое необходимое и достаточное условие через касательные длины равно $(x-z)(w-y)=0$, эквивалентно $AB=BC$ и $CD=DA$ или $BC=CD$ и $DA=AB$.