Кратко: Евклид дал практическую, конструктивную и интуитивную основу евклидовой геометрии; Хильберт превёл геометрию в строгую аксиоматическую систему, явно формулировав примитивные понятия и недостающие предположения. Ниже — отличия, последствия и конкретные примеры теорем, чьи доказательства меняются.
Отличия подходов
- Метод и цель: Евклид — конструктивная система с постулатами и построениями (практическая геометрия); Хильберт — формализация для чистой логической строгости и устранения скрытых допущений.
- Примитивы и аксиомы: Хильберт явно вводит группы аксиом: $\text{Incidence}(I)$, $\text{Order/Betweenness}(II)$, $\text{Congruence}(III)$, $\text{Parallel}(IV)$, $\text{Continuity}(V)$. Евклид многие свойства использовал неявно.
- Логика доказательств: Евклид опирается на интуитивные построения и «суперпозицию» (перенос фигур); Хильберт заменяет такие идеи формализованными аксиомами (например, аксиомы конгруэнтности), чтобы избегать перемещений фигур как шага доказательства.
- Порядок и пересечения: в работах Евклида встречаются пропущенные допущения о порядке точек и пересечениях окружностей/прямых; Хильберт добавляет аксиомы порядка (включая Пасховскую ситуацию) и аксиомы непрерывности/полноты.
Что стало возможным / что оказалось нуждаться в формализме
- Доказать независимость и согласованность аксиом (в частности параллельного постулата) — задача, требующая формализации.
- Убрать аргументы «суперпозиции» и заменить их общими аксиомами конгруэнции (SAS и др.).
- Явно формализовать утверждения о порядке (Pasch) и о существовании точек пересечения (иногда нужна аксиома непрерывности или дополнительные аксиомы о окружностях).
Конкретные примеры теорем и как меняется доказательство
1) Построение равностороннего треугольника (Евклид, I.1)
- Евклид: строит две окружности с центрами в концах отрезка $AB$ и предполагает, что они пересекутся; пересечение даёт третью вершину.
- В формализме Хильберта: нужно либо вывести существование точки пересечения окружностей из аксиом, либо добавить соответствующую аксиому о пересечении окружностей (в его оригинальной системе такая аксиома явно не формулировалась — вопрос решается в системах типа Тарского или добавлением аксиомы о окружностях). Иначе построение не формально оправдано.
2) Теорема о наложении (равенство треугольников, «суперпозиция», Евклид I.4 — SAS)
- Евклид доказывает некоторые случаи конгруэнтности треугольников посредством наложения (переноса) фигур.
- Хильберт вводит аксиомы конгруэнции (включая форму SAS как аксиому или выводимую из III‑группы); поэтому доказательство перестаёт опираться на интуитивное перемещение, а становится логически корректным внутри системы конгруэнций.
3) Теорема об основании равнобедренного треугольника (Евклид I.5)
- Евклид использует приёмы суперпозиции; в аксиоматике Хильберта доказательство строится через аксиомы конгруэнции и аксиомы порядка (±перестановки точек), без «перекладывания» треугольников.
4) Пасховский аргумент о пересечении отрезка и стороны треугольника (неформально в Евклиде, формализуется Хильбертом)
- Евклид неоднократно использует утверждения, эквивалентные Пашеву (если прямая пересекает одну сторону треугольника, она должна пересекать и другую при определённых условиях); Хильберт вводит соответствующие аксиомы порядка (II‑группа), чтобы эти рассуждения были формально обоснованы.
5) Параллельный постулат и его формы
- Евклид формулирует Пятый постулат в своей классической форме; Хильберт может взять эквивалентную формулировку «Прямая через точку вне данной существует не более одной параллельной» (форма Плейфера) как аксиому $IV$. При переходе меняются контекст и потребности в дополнительных аксиомах для вывода эквивалентности форм.
6) Существование перпендикуляра, биссектора и других конструкций
- В евклидовой традиции такие построения выполняются геометрическими средствами и интуицией о пересечениях; в аксиоматике иногда требуется аксиома непрерывности (V) или дополнительные конструкции для гарантии существования нужных точек (например, для доказательства, что круг и прямая пересекаются при заданных условиях).
Короткое резюме
- Хильберт выявил и формализовал скрытые допущения Евклида (порядок, пересечения, конгруэнция, непрерывность), заменил «суперпозицию» четкими аксиомами и тем самым сделал геометрию пригодной для логического анализа (согласованность, независимость). В результате многие доказательства Евклида либо приобретают более строгую аксиоматическую версию (SAS, I.5), либо требуют добавочных аксиом (пересечение окружностей для I.1, некоторые существования точек — для конструкций).
Если нужно, могу привести формулировки конкретных аксиом Хильберта ($I$--$V$) и показать, какую именно аксиому используют при доказательстве каждой из приведённых теорем.