Метод и анализ (сжатo, с обоснованиями).
Обозначения: даны длины высот $h_a,h_b,h_c>0$, где $h_a$ — высота к стороне $a$ и т.д. Введём обратные величины
$$s_a=\frac{1}{h_a},s_b=\frac{1}{h_b},s_c=\frac{1}{h_c},S=s_a+s_b+s_c.$$
1) Интерпретация и пропорция. Так как $h_a=\frac{2\Delta }{a}$ (где $\Delta$ — площадь), получаем
$$a=\frac{2\Delta }{h_a}=t{s}_a,b=t{s}_b,c=t{s}_c,$$ где положительный масштабный множитель $t=2\Delta$. Значит стороны пропорциональны обратным высотам: $a:b:c=s_a:s_b:s_c$.
2) Условие существования. Полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}=t\frac{S}{2}$. По формуле Геро́на площадь выражается через $t$ и $s$:
$$\Delta =S_{\text{Heron}}(t)=t^2\sqrt{K},K=\frac{S}{2}(\frac{S}{2}-s_a)(\frac{S}{2}-s_b)(\frac{S}{2}-s_c).$$ Нужна совместимость $\Delta =t/2$ и $\Delta =t^2\sqrt{K}$, т.е.
$$t^2\sqrt{K}=\frac{t}{2}\Rightarrow t\sqrt{K}=\frac{1}{2}.$$ Отсюда единственное положительное решение для $t$ существует тогда и только тогда, когда $K>0$, и оно равно
$$t=\frac{1}{2\sqrt{K}}.$$ Замечание: $K>0$ эквивалентно треугольному неравенству для обратных высот
$$s_a<s_b+s_c,s_b<s_a+s_c,s_c<s_a+s_b,$$ то есть набор обратных высот сам должен образовывать стороны (не вырожденного) треугольника.
3) Построение (чисто практическое). Если проверка $K>0$ пройдена, вычислить
$$t=\frac{1}{2\sqrt{K}},a=t{s}_a,b=t{s}_b,c=t{s}_c.$$ Построить треугольник со сторонами $a,b,c$ обычным способом (отрезок длины $a$, затем пересечение кругов радиусов $b$ и $c$). Полученный треугольник имеет заданные высоты.
4) Особые и крайние случаи.
- Если $K\le 0$, решений нет (при $K<0$ — невозможный набор; при $K=0$ — вырожденный треугольник: одна «сторона» равна сумме двух других).
- Если $K>0$, решение единственно (до конгруэнции). Числа $h_a,h_b,h_c$ однозначно определяют $t$, а потому и стороны $a,b,c$.
(Нет случая с двумя несопоставимыми неконгруэнтными решениями.)
5) Связь с геометрическими инвариантами.
- Пропорция сторон: $a:b:c=1/h_a:1/h_b:1/h_c$ — форма треугольника (до масштаба) фиксируется обратными высотами.
- Инвариантные величины, выражаемые через $s_i$:
- площадь $\Delta =\frac{t}{2}=\frac{1}{4\sqrt{K}}$.
- вписанный радиус
$$r=\frac{\Delta }{p}=\frac{t/2}{tS/2}=\frac{1}{S}=\frac{1}{s_a+s_b+s_c}=\frac{1}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}.$$ - радиус описанной окружности может быть выражен через $t$ и $s_a{s}_b{s}_c$: $R=\frac{abc}{4\Delta }=\frac{t^2{s}_a{s}_b{s}_c}{2}$ (далее подставить $t$).
Эти формулы показывают, какие комбинации данных высот остаются неизменными и как из них восстанавливаются стандартные характеристики треугольника.
Итог: достаточно проверить треугольность обратных высот; если она выполнена, единственное (до конгруэнции) решение даётся по формулам выше; иначе решений нет (или одно вырожденное при равенстве).