Формулировка оптимизационной задачи, требования и подходы — кратко и по существу.
Исходные данные (заданы): пролёт (диаметр) $D$ или полурadius $a=D/2$, высота купола $H$; набор нагрузок, приведённых к нормальному давлению на поверхность $p_{design}$ (включая снег, снегово-ветровые сочетания, собственный вес и т.п.); материал с плотностью $\rho$, модулем упругости $E$, Пуассоном $\nu$ и допускаемым пределом прочности ${\sigma }_{allow}$. Разрешается проектировать или выбирать семейство осесимметричных поверхностей вращения (сферический купол, параболоид и т.п.) и распределение толщины $t(s)$ по поверхности.
1) Математическая постановка (общая)
- Переменные проектирования:
- форма из заданного семейства (например параметр $R$ для сферической крышки, для параболоида параметр $k$ при $y=k{r}^2$); при фиксированных $a,H$ эти параметры однозначно связаны с $a,H$,
- распределение толщины $t(s)\ge t_{min}$ (можно принять константу $t$ для упрощения).
- Целевая функция (минимизация расхода материала / массы):
$$\underset{t(\cdot ),\text{(параметры формы)}}{\min }M=\rho {\int }_{S}t(s)dS.$$ Для постоянной толщины $t$: $M=\rho tS$, где $S$ — площадь поверхности.
- Ограничения прочности (в очевидных геометрических величинах):
- для всех точек поверхности и для двух мембранных направлений (меридионального и окружного) должно выполняться
$$\frac{|N_{\theta }(s)|}{t(s)}\le {\sigma }_{allow},\frac{|N_{\varphi }(s)|}{t(s)}\le {\sigma }_{allow},$$ где $N_{\theta },N_{\varphi }$ — мембранные силы (результанты усилий на единицу длины), вычисляемые из уравнений равновесия для заданной формы и нагрузки $p_{design}$.
- проверка на потерю устойчивости (упрощённо через критическое давление для оболочки):
$$p_{design}\le p_{cr}(t,\text{форма}),$$ где для сферического купола классическая оценка (Zoelly) даёт
$$p_{cr}\approx \frac{2E}{\sqrt{3(1-{\nu }^2)}}{\left(\frac{t}{R}\right)}^2.$$ - технологические/производственные ограничения: $t(s)\ge t_{min}$, гладкость/градация толщины, дискретные размеры листов и т.п.
- При необходимости добавляются ограничения на прогибы/деформации и местные напряжения у опор.
2) Частные явные выражения для популярных семейств
- Сферический купол (радиус сферы $R$, связанный с $a,H$):
$$R=\frac{a^2+H^2}{2H},S_{\text{cap}}=2\pi RH.$$ При равномерном нормальном давлении $p$ классическая мембранная оценка для сферической оболочки даёт максимум мембранного напряжения
$${\sigma }_{mem}\approx \frac{pR}{2t}.$$ Отсюда для прочности
$$t\ge \frac{pR}{2{\sigma }_{allow}}.$$ Масса при этом
$$M=\rho t{S}_{\text{cap}}=\rho S_{\text{cap}}\frac{pR}{2{\sigma }_{allow}}.$$ Устойчивость (более жёсткое требование при внешнем давлении) проверяется через
$$p_{cr}\approx \frac{2E}{\sqrt{3(1-{\nu }^2)}}{\left(\frac{t}{R}\right)}^2.$$ - Параболоид вращения $y=k{r}^2$ (при $k=H/a^2$): площадь
$$S=2\pi {\int }_0^{a}r\sqrt{1+(y^{\prime }(r){)}^2}dr,y^{\prime }(r)=2kr.$$ Мембранные усилия и максимальные $N_{\theta },N_{\varphi }$ для параболоида решаются численно из осесимметричных уравнений равновесия (уравнение ОДУ), затем т вычисляется из
$$t\ge \underset{s}{\max }\frac{|N_{\theta }(s)|}{{\sigma }_{allow}},\underset{s}{\max }\frac{|N_{\varphi }(s)|}{{\sigma }_{allow}}.$$
3) Подходы к решению
- Быстрая инженерная оценка (быстро и надёжно для предварительного выбора):
- для сферического купола использовать приведённую формулу $t\ge pR/(2{\sigma }_{allow})$ и проверить buckling через $p_{cr}$. Сравнить массу для сферы и параболоида (параболоид — вычислять $S$ и численно N).
- Полуаналитический метод для осесимметричных форм:
- решить осесимметричные уравнения мембранной теории (ОДУ) по меридиану для заданной формы и $p_{design}$ → получить $N_{\theta }(s),N_{\varphi }(s)$ → минимальное $t(s)$ из неравенств; при однородном $t$ взять максимум по s.
- Точный численный метод (рекомендуется для окончательного расчёта):
- дискритизовать оболочку с элементами тонкой оболочки (FEM: Abaqus, ANSYS, CalculiX, FEniCS с оболочечными элементами),
- ввести переменные проектирования (константная или кусочно-постоянная $t_i$ по панелям; можно и форму как параметр или свободная форма),
- требовать ограничений: максимальные эквивалентные напряжения $\le {\sigma }_{allow}$, критическое собственное значение (buckling) $\ge$ заданного запаса; добавить ограничения на производительность (производственный минимум толщины),
- использовать оптимизатор с градиентами (IPOPT, SNOPT) с вычислением градиентов через метод adjoint (для больших проблем) или численные градиенты для небольших задач;
- регуляризация/сглаживание распределения $t$ для реализуемости.
- Топологическое/форм-оптимизирование для более радикальной экономии материала:
- метод оптимизации плотности/толщины по поверхности с регуляризацией; решается через FEM + адъюнкт; даёт нелинейные распределения толщины и возможные усиления в зонах опор.
4) Практический алгоритм действий
- Шаг 1: привести нагрузки к эквивалентному $p_{design}$, определить $a,H$.
- Шаг 2: сделать быструю проверку для сферической формы: вычислить $R,S$, получить $t_{min}$ по прочности и по устойчивости; оценить массу.
- Шаг 3: для параболоида решить осесимметрично уравнение мембраны численно (или FEM) и получить $t_{min}$, массу; сравнить с шаром.
- Шаг 4: при спорных результатах — выполнить FEM-оптимизацию толщины (и формы, если допустимо) с учётом прочности и устойчивости и технологических ограничений.
- Шаг 5: проверка итогового решения нелинейным расчётом (включая локальные эффекты, соединения, нагрузочные сочетания) и учёт запаса безопасности.
Короткое резюме: формализуйте задачу как
$$\underset{t(\cdot ),\text{параметры формы}}{\min }\rho {\int }_{S}tdS$$ при ограничениях
$$\frac{|N_{\theta }(s)|}{t(s)}\le {\sigma }_{allow},\frac{|N_{\varphi }(s)|}{t(s)}\le {\sigma }_{allow},p_{design}\le p_{cr}(t,\text{форма}),t\ge t_{min}.$$ Для быстрого решения используйте аналитические формулы для сферического купола; для точного — осесимметричный мембранный расчёт и/или FEM с оптимизацией толщины (градиентные методы с адъюнктом для масштабируемости).