Ответ: множество точек PPP, для которых ∠APB=φ\angle APB=\varphi∠APB=φ (при заданном отрезке ABABAB и 0<φ<π0<\varphi<\pi0<φ<π) — это часть окружностей, проходящих через AAA и BBB. Дальше — конструкция, доказательство и свойства. Конструкция (компас и линейка) 1. Пусть c=ABc=ABc=AB. Постройте середину MMM и перпендикулярную биссектрису отрезка ABABAB. 2. Вычислите (постройте) радиус R=c2sinφ.
R=\frac{c}{2\sin\varphi}. R=2sinφc.
3. Отложите на перпендикулярной биссектрисе от MMM два направления расстоянием MO=c2cotφ,
MO=\frac{c}{2}\cot\varphi, MO=2ccotφ,
получив два центра O1,O2O_1,O_2O1,O2 (симметричные относительно MMM). 4. Проведите окружности с центрами O1,O2O_1,O_2O1,O2 и радиусом RRR. На каждой из этих окружностей есть две дуги между AAA и BBB; одна из этих дуг даёт ∠APB=φ\angle APB=\varphi∠APB=φ, другая — ∠APB=π−φ\angle APB=\pi-\varphi∠APB=π−φ. Локус — объединение двух дуг (по одной на каждой окружности), на которых действительно ∠APB=φ\angle APB=\varphi∠APB=φ. Доказательство формы и вычисления - По теореме об вписанном угле: для окружности с центром OOO и радиусом RRR, если центральный угол, опирающийся на хорду ABABAB, равен 2φ2\varphi2φ, то любой вписанный угол, опирающийся на ту же хорду (пересекающий дугу, не содержащую точку PPP), равен φ\varphiφ. Значит достаточно найти окружности через A,BA,BA,B с центральным углом 2φ2\varphi2φ. - Для хорды длины ccc и радиуса RRR выполняется c=2Rsinφc=2R\sin\varphic=2Rsinφ. Отсюда R=c2sinφR=\dfrac{c}{2\sin\varphi}R=2sinφc. - Так как OA=OB=ROA=OB=ROA=OB=R, центр должен лежать на перпендикулярной биссектрисе ABABAB. Расстояние от середины MMM до центра вычисляется из прямоугольного треугольника: MO=R2−(c/2)2=c2cotφMO=\sqrt{R^2-(c/2)^2}=\dfrac{c}{2}\cot\varphiMO=R2−(c/2)2=2ccotφ. Получаем ровно две симметричные возможности для центра, значит две окружности. Положение дуг при острых и тупых углах - Если φ<π2\varphi<\tfrac{\pi}{2}φ<2π (острый), то 2φ<π2\varphi<\pi2φ<π. На каждой построенной окружности дуга между AAA и BBB с центромого центральным углом 2φ2\varphi2φ — малая дуга, и требуемые точки PPP лежат на противоположной (большой) дуге; на другой дуге дают угол π−φ\pi-\varphiπ−φ. - Если φ>π2\varphi>\tfrac{\pi}{2}φ>2π (тупой), то 2φ>π2\varphi>\pi2φ>π и ситуация меняется: теперь дуга с центральным углом 2φ2\varphi2φ — большая, а требуемые точки PPP лежат на меньшей дуге. - При φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π оба центра совпадают в точке MMM и R=c2R=\dfrac{c}{2}R=2c. Локус — вся окружность с диаметром ABABAB (теорема Фалеса): для любой точки на этой окружности ∠APB=π2\angle APB=\tfrac{\pi}{2}∠APB=2π. Поведение при предельных значениях φ\varphiφ
- При φ→0+\varphi\to 0^+φ→0+ имеем sinφ→0\sin\varphi\to 0sinφ→0, поэтому R→∞R\to\inftyR→∞ и MO→∞MO\to\inftyMO→∞: окружности «выпрямляются» и локус стремится к прямой ABABAB. В пределе угол 000 соответствует коллинеарности A,B,PA,B,PA,B,P (точки на продолжениях прямой ABABAB вне открытого отрезка ABABAB). - При φ→π−\varphi\to\pi^-φ→π− аналогично R→∞R\to\inftyR→∞; в пределе угол π\piπ соответствует коллинеарности с PPP между AAA и BBB (точки на отрезке ABABAB). - Частный случай φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π даёт минимальный радиус R=c2R=\dfrac{c}{2}R=2c. Короткая сводка - Локус = объединение двух дуг окружностей через A,BA,BA,B с радиусом R=AB2sinφR=\dfrac{AB}{2\sin\varphi}R=2sinφAB и центрами на перпендикулярной биссектрисе на расстоянии MO=AB2cotφMO=\dfrac{AB}{2}\cot\varphiMO=2ABcotφ от середины. - На каждой из окружностей одна дуга даёт угол φ\varphiφ, другая — π−φ\pi-\varphiπ−φ; при φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π — одна окружность (диаметр ABABAB); при φ→0\varphi\to0φ→0 или φ→π\varphi\to\piφ→π окружности стремятся к прямой ABABAB.
Конструкция (компас и линейка)
1. Пусть c=ABc=ABc=AB. Постройте середину MMM и перпендикулярную биссектрису отрезка ABABAB.
2. Вычислите (постройте) радиус
R=c2sinφ. R=\frac{c}{2\sin\varphi}.
R=2sinφc . 3. Отложите на перпендикулярной биссектрисе от MMM два направления расстоянием
MO=c2cotφ, MO=\frac{c}{2}\cot\varphi,
MO=2c cotφ, получив два центра O1,O2O_1,O_2O1 ,O2 (симметричные относительно MMM).
4. Проведите окружности с центрами O1,O2O_1,O_2O1 ,O2 и радиусом RRR. На каждой из этих окружностей есть две дуги между AAA и BBB; одна из этих дуг даёт ∠APB=φ\angle APB=\varphi∠APB=φ, другая — ∠APB=π−φ\angle APB=\pi-\varphi∠APB=π−φ. Локус — объединение двух дуг (по одной на каждой окружности), на которых действительно ∠APB=φ\angle APB=\varphi∠APB=φ.
Доказательство формы и вычисления
- По теореме об вписанном угле: для окружности с центром OOO и радиусом RRR, если центральный угол, опирающийся на хорду ABABAB, равен 2φ2\varphi2φ, то любой вписанный угол, опирающийся на ту же хорду (пересекающий дугу, не содержащую точку PPP), равен φ\varphiφ. Значит достаточно найти окружности через A,BA,BA,B с центральным углом 2φ2\varphi2φ.
- Для хорды длины ccc и радиуса RRR выполняется c=2Rsinφc=2R\sin\varphic=2Rsinφ. Отсюда R=c2sinφR=\dfrac{c}{2\sin\varphi}R=2sinφc .
- Так как OA=OB=ROA=OB=ROA=OB=R, центр должен лежать на перпендикулярной биссектрисе ABABAB. Расстояние от середины MMM до центра вычисляется из прямоугольного треугольника: MO=R2−(c/2)2=c2cotφMO=\sqrt{R^2-(c/2)^2}=\dfrac{c}{2}\cot\varphiMO=R2−(c/2)2 =2c cotφ. Получаем ровно две симметричные возможности для центра, значит две окружности.
Положение дуг при острых и тупых углах
- Если φ<π2\varphi<\tfrac{\pi}{2}φ<2π (острый), то 2φ<π2\varphi<\pi2φ<π. На каждой построенной окружности дуга между AAA и BBB с центромого центральным углом 2φ2\varphi2φ — малая дуга, и требуемые точки PPP лежат на противоположной (большой) дуге; на другой дуге дают угол π−φ\pi-\varphiπ−φ.
- Если φ>π2\varphi>\tfrac{\pi}{2}φ>2π (тупой), то 2φ>π2\varphi>\pi2φ>π и ситуация меняется: теперь дуга с центральным углом 2φ2\varphi2φ — большая, а требуемые точки PPP лежат на меньшей дуге.
- При φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π оба центра совпадают в точке MMM и R=c2R=\dfrac{c}{2}R=2c . Локус — вся окружность с диаметром ABABAB (теорема Фалеса): для любой точки на этой окружности ∠APB=π2\angle APB=\tfrac{\pi}{2}∠APB=2π .
Поведение при предельных значениях φ\varphiφ - При φ→0+\varphi\to 0^+φ→0+ имеем sinφ→0\sin\varphi\to 0sinφ→0, поэтому R→∞R\to\inftyR→∞ и MO→∞MO\to\inftyMO→∞: окружности «выпрямляются» и локус стремится к прямой ABABAB. В пределе угол 000 соответствует коллинеарности A,B,PA,B,PA,B,P (точки на продолжениях прямой ABABAB вне открытого отрезка ABABAB).
- При φ→π−\varphi\to\pi^-φ→π− аналогично R→∞R\to\inftyR→∞; в пределе угол π\piπ соответствует коллинеарности с PPP между AAA и BBB (точки на отрезке ABABAB).
- Частный случай φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π даёт минимальный радиус R=c2R=\dfrac{c}{2}R=2c .
Короткая сводка
- Локус = объединение двух дуг окружностей через A,BA,BA,B с радиусом R=AB2sinφR=\dfrac{AB}{2\sin\varphi}R=2sinφAB и центрами на перпендикулярной биссектрисе на расстоянии MO=AB2cotφMO=\dfrac{AB}{2}\cot\varphiMO=2AB cotφ от середины.
- На каждой из окружностей одна дуга даёт угол φ\varphiφ, другая — π−φ\pi-\varphiπ−φ; при φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π — одна окружность (диаметр ABABAB); при φ→0\varphi\to0φ→0 или φ→π\varphi\to\piφ→π окружности стремятся к прямой ABABAB.