Классификация (теорема). Любая изометрия евклидовой плоскости есть аффинное отображение вида
$$x\mapsto Ax+b,$$ где $A\in O(2)$ (ортогональная матрица), $b\in {\mathbb{R}}^2$. Тогда либо $\det A=1$ и изометрия сохраняет ориентацию, либо $\det A=-1$ и меняет ориентацию. Соответственно:
- если $\det A=1$, то либо $A=I$ и это чистый сдвиг (трансляция) $x\mapsto x+b$, либо $A\ne I$ и это поворот относительно некоторой точки на угол $\varphi$;
- если $\det A=-1$, то либо существует прямая фиксированных точек и это отражение (симметрия) относительно этой прямой, либо нет фиксированных точек и это скользящая симметрия (отражение + сдвиг вдоль оси отражения).
Короткие доказательства и объяснения
1) Синтетический аргумент для $\det A=1$.
- Пусть $f$ — ориентационно сохраняющая изометрия. Если существует точка $p$ такая, что $f(p)=p$, то для любого $x$ расстояние $|xp|$ сохраняется и направление вращается на некоторый угол $\varphi$ вокруг $p$; значит $f$ — поворот на угол $\varphi$ с центром $p$.
- Если фиксированных точек нет, возьмём любую точку $x$. Рассмотрим вектор $v=f(x)-x$. Для любой другой точки $y$ в силу изометрии векторы $f(y)-y$ имеют ту же длину и направление (иначе появились бы пересечения окружностей), откуда $f(y)-y=v$ для всех $y$. Значит $f$ — трансляция $x\mapsto x+v$.
2) Синтетический аргумент для $\det A=-1$.
- Ортогональная матрица с детерминантом $-1$ имеет собственные значения $1$ и $-1$, поэтому существует единственная прямая $l$ инвариантная по направлению (её вектор-линию дают собственные векторы со значением $1$). Если вдоль этой прямой $b$ даёт нулевое смещение (существует точка $p$ с $(I-A)p=b$), то все такие $p$ образуют эту прямую фиксированных точек — чистая симметрия относительно $l$. Если решения нет, то отображение можно представить как отражение относительно некоторой прямой, а затем сдвиг вдоль этой же прямой — скользящая симметрия.
Композиции (основные утверждения)
- Композиция двух отражений по прямым $l_1,l_2$:
- если $l_1$ и $l_2$ параллельны на расстоянии $d$, то композиция — трансляция на вектор, направленный перпендикулярно прямым, длины $2d$;
- если $l_1$ и $l_2$ пересекаются под углом $\theta$, то композиция — поворот на угол $2\theta$ вокруг точки пересечения.
- Композиция двух поворотов — поворот (если суммарный угол ≠ 0 мод $2\pi$) или трансляция (если углы компенсируются) — в общем ориентационно сохраняющая изометрия.
- Композиция отражения и поворота (в любом порядке) даёт ориентационно-меняющую изометрию: либо отражение (если поворот и отражение согласованы так, что появляется фиксация линии), либо скользящую симметрию.
- Чётное число отражений даёт ориентационно-сохраняющую изометрию (поворот или трансляция), нечётное — ориентационно-меняющую (отражение или скользящая симметрия).
Координатный (матричный) подход — компактно и однозначно
- Любая изометрия задаётся $x\mapsto Ax+b$, $A\in O(2)$. Разбор по $\det A$:
- Если $\det A=1$. Тогда либо $A=I$ → трансляция, либо $A=R_{\varphi }$ (матрица поворота на $\varphi$). Если $A\ne I$, можно найти центр $c$ решения уравнения
$$(I-A)c=b,$$ потому что $I-A$ невырожденна при $A\ne I$ и $\det A=1$ (в двумерном случае для поворота с углом $\varphi \ne 0$ матрица $I-A$ обратима). Тогда
$$f(x)=Ax+b=A(x-c)+c,$$ то есть поворот вокруг $c$.
- Если $\det A=-1$. Тогда $A$ имеет собственный вектор с собственным значением $1$ (направление линии отражения). Решение уравнения $(I-A)p=b$ либо существует (тогда есть точка/прямая фиксированных точек → чистая симметрия), либо не существует → скользящая симметрия. Более явный вид отражения по прямой с единичным направляющим вектором $u$:
$$R_u(x)=2(u\cdot x)u-x.$$ Скользящая симметрия: взять отражение $S$ и сдвиг $T_v$ вдоль оси $S$; общий вид $x\mapsto S(x)+v$.
Иллюстративные примеры (явные формулы)
- Трансляция на вектор $v=(a,b)$:
$$T_v(x)=x+v.$$ - Поворот на угол $\varphi$ вокруг начала:
$$R_{\varphi }(x)=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)x.$$ Поворот с центром $c$:
$$x\mapsto R_{\varphi }(x-c)+c.$$ - Отражение относительно оси $Ox$ (матрица):
$$S(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)x.$$ - Скользящая симметрия: отражение относительно $Ox$ затем перевод вдоль $Ox$ на $t$:
$$x\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}t\\ 0\end{array}\right).$$ Нет фиксированных точек при $t\ne 0$ — это скользящая симметрия.
Сравнение синтетического и координатного подходов
- Синтетическое доказательство даёт геометрическую интуицию: фиксированные точки, направления векторов перемещения, поведение композиций отражений (угел/сдвиг). Оно коротко объясняет «почему» классификация такова.
- Координатный (матричный) подход даёт строгую универсальную форму $x\mapsto Ax+b$, позволяет явно вычислять центры поворотов как решения $(I-A)c=b$, однозначно классифицировать по $\det A$, легко реализуется на компьютере и удобен для вычислений и доказательств существования/единственности.
Оба подхода дополняют друг друга: синтетика — для понимания и построения, матрицы — для вычисления и строгой формулировки.
Если нужно, могу привести схематические чертежи/показать пошагово доказательство для композиции двух отражений с детальными алгебраическими выкладками.