Метод инверсии (обычно с центром в заданной точке $P$) сводит задачу «окружность через $P$, касающаяся двух заданных окружностей $C_1,C_2$» к задаче о общих касательных двух окружностей. Последовательность и ключевые ограничения:
1) Выбор инверсии. Берём инверсию с центром в $P$ и радиусом $R$ (можно взять $R=1$). Поскольку по условию $P$ лежит вне обеих заданных окружностей, ни одна из них не проходит через центр инверсии (важно: если $P$ лежит на какой‑то из окружностей, формула ниже вырождена).
2) Образы окружностей. Окружность $C_i$ с центром $O_i$ и радиусом $r_i$ (и $d_i=P{O}_i$) отображается в окружность $C_i^{\prime }$ с центром на луче $P{O}_i$ и параметрами
$$d_i^{\prime }=\frac{R^2{d}_i}{d_i^2-r_i^2},r_i^{\prime }=\frac{R^2{r}_i}{|d_i^2-r_i^2|}.$$ (Если $d_i^2=r_i^2$, то $C_i$ проходит через $P$ и её образ — прямая; этот случай отдельно рассматривается ниже.)
3) Образ искомой окружности. Любая окружность, проходящая через $P$, под инверсией превращается в прямую, не проходящую через $P$. Следовательно задача сводится к поиску прямой(ых) $L^{\prime }$, которые являются общими касательными окружностям $C_1^{\prime }$ и $C_2^{\prime }$.
4) Построение общих касательных. Количество и конструкция:
- если расстояние между центрами $O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }$ равно $d^{\prime }$ и радиусы $r_1^{\prime },r_2^{\prime }$,
- при $d^{\prime }>r_1^{\prime }+r_2^{\prime }$ — 4 общих касательных (две внешние и две внутренние);
- при $d^{\prime }=r_1^{\prime }+r_2^{\prime }$ — 3 (внешняя касательная вырождается);
- при $|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|<d^{\prime }<r_1^{\prime }+r_2^{\prime }$ — окружности пересекаются (в исходной постановке это не происходит, т.к. инверсия — биекция вне центра);
- при $d^{\prime }=|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|$ — внутреннее касание (1 касательная);
- при $d^{\prime }<|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|$ — вложенность, общих касательных нет.
Практически касательные строят через центры гомотетии: внешняя гомотетия для внешних касательных, внутренняя — для внутренних; затем от центра гомотетии проводят касательные к одной окружности — это и есть общие касательные.
5) Обратное отображение. Любая найденная прямая $L^{\prime }$, не проходящая через $P$, при обратной инверсии даёт окружность, проходящую через $P$ и касающуюся $C_1,C_2$. Конструктивно можно взять две разные точки $X^{\prime },Y^{\prime }$ на $L^{\prime }$, инвертировать их в $X,Y$ (по правилу $\overline{PX}\cdot \overline{P{X}^{\prime }}=R^2$) и провести окружность через $P,X,Y$.
6) Особые и вырожденные случаи и ограничения:
- если для какого‑то $i$ $d_i^2=r_i^2$ (т.е. $P$ на $C_i$), то $C_i^{\prime }$ — прямая. Тогда задача сводится к: найти прямую, касательную к другой окружности и параллельную этой прямой (или касающуюся и этой прямой) — нужно рассматривать отдельно; формулы выше не применимы (деление на ноль).
- если при построении общей касательной $L^{\prime }$ выясняется, что $L^{\prime }$ проходит через $P$, то её обратный образ — сама прямая $L^{\prime }$ (линия через центр инверсии инвариантна). Это соответствует вырожденному «кругу бесконечного радиуса» — реальное решение в виде конечной окружности отсутствует, но существует прямая через $P$, касающаяся обеих заданных окружностей (такое возможно, но это не окружность в обычном смысле).
- если образы $C_1^{\prime },C_2^{\prime }$ вложены ($d^{\prime }<|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|$), общих касательных нет — значит в исходной задаче нет окружности через $P$, касающейся обеих заданных окружностей.
- если исходные $C_1,C_2$ касаются друг друга или пересекаются, конфигурация чисел касательных меняется; инверсия сохраняет число пересечений, поэтому нужно учитывать стандартную классификацию касательных.
- численные/геометрические погрешности: выбор радиуса $R$ не влияет на топологию, но может влиять на удобство вычислений; обычно берут $R=1$.
Краткая схема алгоритма для практической постройки:
1. Инвертировать $C_1,C_2$ относительно $P$ (формулы для $O_i^{\prime },r_i^{\prime }$).
2. Построить все общие касательные $L^{\prime }$ к $C_1^{\prime },C_2^{\prime }$.
3. Отложить исключения: выбросить (или отметить как вырожденные) те $L^{\prime }$, которые проходят через $P$.
4. Для каждой оставшейся $L^{\prime }$ инвертировать две точки на ней и построить окружность через $P$ и эти два образа — это решение.
5. Отметить случаи отсутствия решений (вложенность образов) и случаи единственной/множества решений в зависимости от касания.
Так метод инверсии даёт полное и конструктивное описание всех возможных окружностей через $P$, касающихся двух заданных окружностей, с ясным перечислением вырожденных и недопустимых ситуаций.