Кратко: центр любой окружности, касающейся параболы в двух различных точках P1 и P2, равен пересечению нормалей к параболе в этих точках. Множество таких центров — образ попарных пересечений нормалей. Для параболы можно дать явную параметризацию центра и показать, при каких положениях он лежит на оси симметрии.
Доказательство (основная идея). Пусть парабола задана $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$. В точке $x=t$ касательная имеет наклон $f^{\prime }(t)=2at+b$; радиус окружности, касающейся кривой в этой точке, перпендикулярен касательной, значит центр окружности лежит на нормали в этой точке. Если окружность касается параболы в двух различных точках $t_1$ и $t_2$, её центр одновременно лежит на двух нормалях, поэтому он равен их пересечению. (Обратно: пересечение двух нормалей действительно является центром окружности, касающейся в соответствующих точках, поскольку расстояния до этих точек одинаковы — центр на пересечении нормалей равноудален от касательных прямых в точках касания и потому от точек касания.)
Параметризация (удобно убрать слагаемое $bx$ сдвигом оси). Сдвинем координату по $x$ так, чтобы убрать линейный член: положим $u=x+\frac{b}{2a}$; тогда в новых координатах парабола имеет вид
$$y=a{u}^2+c^{\prime },c^{\prime }=c-\frac{b^2}{4a}.$$ Пусть точки касания имеют абсциссы $u=t_1$ и $u=t_2$ ($t_1\ne t_2$). Нормаль в точке $t$ задаётся уравнением
$$(x-t)+(2at)(y-(a{t}^2+c^{\prime }))=0.$$ Решая систему нормалей для $t_1,t_2$ получаем координаты центра $M=(U,V)$ в сдвинутых координатах:
$$U=-2a^2{t}_1{t}_2(t_1+t_2),V=\frac{1}{2a}+a(t_1^2+t_1{t}_2+t_2^2)+c^{\prime }.$$ Возвратясь в исходные координаты $x=u-\frac{b}{2a}$, $y$ остаётся тем же, получаем центр
$$x_M=U-\frac{b}{2a},y_M=V.$$ Эти формулы полностью описывают геометрическое место (в параметрическом виде) — образ множества всех равных пар $(t_1,t_2),t_1\ne t_2$.
Условие нахождения центра на оси симметрии. Ось параболы в сдвинутых координатах — прямая $U=0$. По формуле $U=-2a^2{t}_1{t}_2(t_1+t_2)$, поэтому центр лежит на оси симметрии тогда и лишь тогда, когда
$$t_1{t}_2(t_1+t_2)=0.$$ Отсюда два геометрически прозрачных случая:
- $t_1+t_2=0$: точки касания симметричны относительно оси — центр на оси (центр симметричен).
- $t_1=0$ или $t_2=0$: одна из точек касания — вершина параболы; тогда центр также на оси.
Примеры.
1) Парабола $y=x^2$ ($a=1,b=c=0$). Возьмём $t_1=1,t_2=-1$ (симметричные точки). По формуле
$$U=-2\cdot 1^2\cdot (1)(-1)(1+(-1))=0,V=\frac{1}{2}+1\cdot (1+(-1)+1)=\frac{3}{2}.$$ Центр $M=(0,\frac{3}{2})$ лежит на оси $x=0$. Окружность радиуса $\sqrt{(1-0{)}^2+(1-3/2{)}^2}=\sqrt{1+1/4}=\sqrt{5/4}$ действительно касается параболы в $x=\pm 1$.
2) Та же парабола, точки $t_1=0$ (вершина) и $t_2=1$. Тогда $U=0$, $V=\frac{1}{2}+1\cdot (0+0+1)=\frac{3}{2}$: центр опять $(0,\frac{3}{2})$. Это показывает случай с одной точкой в вершине.
Замечания о вырожденных и общих ситуациях.
- Если две нормали параллельны (что для различных точек возможно лишь при совпадающих наклонах), пересечения нет — значит нет окружности с центром в такой точке; в общем случае разные точки дают разные нормали и их пересечение существует и даёт центр.
- Множество всех таких центров описывается двухпараметрическим образом (пара $t_1,t_2$), поэтому в общем заполняет область в плоскости; формулы выше дают явную параметризацию и позволяют исследовать дополнительные свойства (вложение в области, условия на реальность и т. п.).
Итого: геометрическое место центров — множество точек, которые являются пересечениями нормалей параболы в двух различных точках; для параболы $y=a{x}^2+bx+c$ после сдвига к вершине координаты центра от точек касания $t_1,t_2$ заданы формулами
$$U=-2a^2{t}_1{t}_2(t_1+t_2),V=\frac{1}{2a}+a(t_1^2+t_1{t}_2+t_2^2)+c^{\prime },$$ и центр лежит на оси симметрии тогда и только тогда, когда $t_1{t}_2(t_1+t_2)=0$ (симметричные точки или наличие вершины среди точек касания).