Поставим ортонормированную систему координат так, чтобы вершина $A$ была в начале, векторы $AB,AC,AD$ шли вдоль осей $x,y,z$. Обозначим длины ребер от $A$ через
$$AB=b,AC=c,AD=d.$$ Тогда координаты вершин можно взять
$$A=(0,0,0),B=(b,0,0),C=(0,c,0),D=(0,0,d).$$
Плоскость $ABC$ задаётся уравнением $z=0$. Ортогональная проекция точки $D$ на эту плоскость есть сбрасывание $z$-координаты, т.е.
$${\mathrm{proj}}_{ABC}(D)=(0,0,0)=A.$$
Следствия и геометрические свойства:
- Так как $AD$ перпендикулярен и $AB,AC$, то $AD$ нормаль к плоскости $ABC$; потому проекция $D$ на $ABC$ единственна и равна $A$.
- Расстояние от $D$ до плоскости $ABC$ равно длине $AD$: $\mathrm{dist}(D,ABC)=AD=d$.
- В треугольнике $ABC$ угол при $A$ прямой ($\angle BAC=90^{\circ }$), гипотенуза $BC$ имеет длину $BC=\sqrt{b^2+c^2}$.
- Проекция не зависит от $b$ и $c$: для любых положительных $b,c$ при условии $AB\perp AC$ и $AD\perp$ обоим им образ проекции $D$ на $ABC$ всегда совпадает с $A$.
- Геометрически это означает: тетраэдр с тремя попарно перпендикулярными ребрами из одной вершины (т.н. трипрямой тетраэдр) имеет противоположную грань $ABC$, на которую вершина $D$ проецируется в вершину $A$; отрезок $AD$ — высота тетраэдра, перпендикуляр ко всей грани $ABC$.
Таким образом, положение проекции тривиально: это точка $A$; её координаты и все перечисленные зависимости выражаются выше через $b,c,d$.