Кратко и по делу: классические формулировки, обобщённые версии в барицентрических координатах и в проективной геометрии, примеры и объяснение, где какая теорема удобнее.
1) Классические формулировки
- Теорема Чевы (евклидова форма). Для точки пересечения цевиан $AD,BE,CF$ в треугольнике $ABC$ имеем (с ориентированными отрезками)
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$ - Теорема Менелая. Для прямой, пересекающей стороны (или их продолжения) треугольника $ABC$ в точках $D\in BC,E\in CA,F\in AB$ (с ориентированными отрезками)
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1.$$
2) Обобщённые версии в барицентрических (гомогенных) координатах
Пусть вершины заданы барицентриками $A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$. Точка на стороне $BC$ имеет вид $(0,\beta ,\gamma )$ и отношение ориентированных отрезков $BD:DC$ пропорционально $\gamma :\beta$ (в гомогенных координатах берут отношение невырожденных координат).
- Барицентрическая форма Чевы. Пусть цевианы идут через точки
$A_1=(0,{\beta }_1,{\gamma }_1),B_1=({\alpha }_2,0,{\gamma }_2),C_1=({\alpha }_3,{\beta }_3,0)$.
Они конкурентны тогда и только тогда, когда
$$\frac{{\gamma }_1}{{\beta }_1}\cdot \frac{{\alpha }_2}{{\gamma }_2}\cdot \frac{{\beta }_3}{{\alpha }_3}=1.$$ Эквивалентно нулю определитель
det⁡(0β1γ1α20γ2α3β30)=0, \det\begin{pmatrix}
0 & \beta_1 & \gamma_1\\[2pt]
\alpha_2 & 0 & \gamma_2\\[2pt]
\alpha_3 & \beta_3 & 0
\end{pmatrix}=0,
det 0α2 α3 β1 0β3 γ1 γ2 0 =0, что даёт алгебраическую универсальную форму для любых полей.
- Барицентрическая форма Менелая. Для точек на сторонах
$D=(0,{\beta }_1,{\gamma }_1)\in BC,E=({\alpha }_2,0,{\gamma }_2)\in CA,F=({\alpha }_3,{\beta }_3,0)\in AB$ коллинеарность $D,E,F$ (с ориентировкой) равносильна
$$\frac{{\beta }_1}{{\gamma }_1}\cdot \frac{{\gamma }_2}{{\alpha }_2}\cdot \frac{{\alpha }_3}{{\beta }_3}=-1.$$ Или, опять же, через детерминант трёх гомогенных координат равный нулю (условие ранга ≤2).
3) Проективная (и дуальная) формулировка
- Проективно Чева и Менелай — дуальны: коллинеарность точек ↔ конкурентность линий. В проективной плоскости над произвольным полем обе теоремы формулируются через гомогенные координаты и детерминанты (нет нужды в метрике или длинах), а знак учитывают через ориентированные (или расширенные) отношения.
- Проективная форма Чевы (гомогенные координаты): для точек как выше concurrency эквивалентно нулю указанного 3×3-детерминанта. Это универсальная версия, действует над любым полем.
- Менелай как следствие проективной дуальности: прямая, пересекающая три стороны треугольника, даёт одно условие на гомогенные координаты точек пересечения; это условие опять записывается детерминантом или эквивалентным произведением отношений (с учётом знаков).
4) Почему одна теорема удобнее, примеры
- Когда удобнее использовать Чеву
- Задача о конкуренции цевиан (медианы, биссектрисы, высоты, любые цевианы): Чева даёт практически мгновенное условие. Пример: доказать, что медианы пересекаются в одной точке (центроиде). Для медиан каждое отношение $BD:DC=1$, поэтому по Чеве $1\cdot 1\cdot 1=1$ — готово.
- Когда работают с барицентриками: проверка, что три прямые, заданные вершинами и точками на противоположных сторонах, пересекаются в единой точке — естественно через барицентрическую форму Чевы (матричный критерий даёт линейную систему для координат пересечения).
- Когда удобнее использовать Менелая
- Задачи о коллинеарности точек, полученных как пересечение сторон и продолжений — естественная сфера Менелая. Пример: дан треугольник, прямая пересекает стороны (или их продолжения) в трёх точках; чтобы проверить коллинеарность этих трёх точек удобно прямо применить Менелая (например, при решении задач на секущие и хорды, при доказательствах свойств касательных и т.п.).
- При вычислении координат точки пересечения прямой с одной из сторон (когда известны отношения на двух сторонах), Menelaus даёт простое соотношение для третьего отношения (из уравнения произведения).
- Пример конкретный (иллюстрация удобства).
1) Конкуренция медиан: Чева — мгновенно: $1\cdot 1\cdot 1=1$.
2) Коллинеарность точек пересечения прямой с продолжениями сторон: Менелай — прямо проверяем, потому что прямой даёт три пересечения, и надо показать $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1$. Для той же задачи применять Чеву неестественно, потому что нужно перейти к дуальной постановке (проверять конкурентность прямых).
5) Резюме по методике
- Барицентрические координаты превращают Чеву/Менелая в линейно-гомогенные отношения и детерминантные критерии — удобно для алгебраических вычислений и обобщений (работа над любым полем).
- Проективный взгляд подчёркивает дуальность: Чева (конкуренция цевиан) и Менелай (коллинеарность точек на секущей) — одно отображается в другое при дуальности; это объясняет общность формул и их сохранение при проективных преобразованиях.
- Практически: для задач на конкуренцию цевиан берём Чеву/барицентрики; для задач на коллинеарность точек на линии — Менелая. Проективный подход полезен, если заданы более общие (включая точки на бесконечности) или необходимо использовать дуальность.
Если нужно, могу дать краткие выводы детерминантных формул и вывод равенства произведений из детерминанта, или разобрать конкретную задачу пошагово (например, координатный пример с численными барицентриками).