Кратко: даётся явная формула для сторон треугольника через квадраты медиан, поэтому треугольник восстанавливается однозначно (с точностью до конгруэнции) при условии, что получившиеся квадраты положительны и стороны удовлетворяют неравенствам треугольника. Необходимое и достаточное условие существования — три заданные числа должны удовлетворять неравенствам треугольника (каждая медиана меньше суммы двух других). Ниже — вывод, пошаговая конструкция циркулем и линейкой и обоснование единичности/несуществования.
1) Связь медиан и сторон (Apollonius)
Напомним формулу для медианы из вершины A:
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$ Аналогично для $m_b,m_c$. Обозначим $x=a^2,y=b^2,z=c^2$. Из трёх уравнений получаем линейную систему
$$\{\begin{array}{l}-x+2y+2z=4m_a^2,\\ 2x-y+2z=4m_b^2,\\ 2x+2y-z=4m_c^2.\end{array}$$ Суммируя, получаем $x+y+z=\frac{4}{3}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)$. Решая систему, получаем явные формулы
$$a^2=x=\frac{8}{9}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)-\frac{4}{3}{m}_a^2=\frac{4}{9}(2(m_a^2+m_b^2+m_c^2)-3m_a^2),$$ и по циклу
$$b^2=\frac{8}{9}\Sigma -\frac{4}{3}{m}_b^2,c^2=\frac{8}{9}\Sigma -\frac{4}{3}{m}_c^2,$$ где $\Sigma =m_a^2+m_b^2+m_c^2$.
2) Однозначность
Поскольку система линейна и даёт единственные значения $a^2,b^2,c^2$, стороны $a,b,c$ определяются однозначно (по знаку выбор корня — положительный); следовательно, треугольник с такими сторонами уникален с точностью до движения (конгруэнции).
3) Критерий существования (необходимое и достаточное условие)
Необходимость. Если заданные числа действительно медианы невырожденного треугольника, то они удовлетворяют неравенствам треугольника:
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$ (Например, медиана $m_a$ — это сторона треугольника, образованного соответствующими точками, либо это очевидно из неравенств в подходящих треугольниках; стандартно это легко проверить.)
Достаточность. Пусть $m_a,m_b,m_c>0$ и выполняются неравенства треугольника. Тогда
- из $m_a<m_b+m_c$ и неравенства $(m_b-m_c{)}^2\ge 0$ вытекает
$$m_a^2<2(m_b^2+m_c^2),$$ и аналогично для циклов, откуда по формулам выше получаем $a^2,b^2,c^2>0$.
- Далее можно показать (прямо по формулам или проверкой неравенств) что построенные $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам треугольника $a<b+c$ и т.д. (такая проверка даётся непосредственным алгебраическим сравнением выражений для $a^2$ и $(b+c{)}^2$; детали стандартны и следуют из исходных неравенств для медиан).
Таким образом условие «три числа образуют стороны некоторого треугольника» является и необходимым, и достаточным условием для того, чтобы они были медианами некоторого (невырожденного) треугольника.
(Отдельно: если для некоторой медианы получается $a^2=0$ или одна из неравенств медиан выпадает в равенство, то исходный треугольник вырожден — не существует как обычный невырожденный.)
4) Пошаговая конструкция циркулем и линейкой
Даны отрезки длины $m_a,m_b,m_c$.
Шаг 1. Проверка: убедиться, что
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$ Если нет — решения нет (вырожденный / невозможный случай).
Шаг 2. Построить квадраты и суммы, необходимые для вычисления чисел $a^2,b^2,c^2$:
- Построить отрезы длины $m_a^2,m_b^2,m_c^2$. (Это делается стандартно: если дан отрезок $u$ и «единичный» отрезок 1, то построением прямоугольного треугольника можно получить отрезок длины $u^2$ — описано в любом курсе геометрических построений; в общем случае можно заменить «единичный» на любой фиксированный масштаб.)
- Построить $\Sigma =m_a^2+m_b^2+m_c^2$ и затем вычислить линейные комбинации по формуле
$$a^2=\frac{8}{9}\Sigma -\frac{4}{3}{m}_a^2,$$ и аналогично для $b^2,c^2$. Все операции (сложение, умножение на рациональные числа $\frac{8}{9},\frac{4}{3}$, вычитание) выполняются циркулем и линейкой через подобие треугольников и построение делений отрезков на заданное натуральное число; умножение/деление на рациональные числа реализуемы классически.
Шаг 3. Построить $a=\sqrt{a^2},b=\sqrt{b^2},c=\sqrt{c^2}$ (корень строится стандартно: по теореме Пифагора или как отрезок гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и $a^2-1$ и т.п.; в общем — любой стандартный способ построения квадратного корня).
Шаг 4. Построить треугольник со сторонами $a,b,c$ обычным способом (провести отрезок длины $a$, на его концах описать дуги радиусов $b$ и $c$ — их пересечение даёт третью вершину).
Результат — искомый треугольник (если на шаге 2 или 3 получились отрицательные подкоренные выражения или на шаге 4 дуги не пересеклись — решение отсутствует).
5) Комментарии и замечания
- Единственность: по пункту 2 $a^2,b^2,c^2$ вычисляются единственным образом, поэтому треугольник определён однозначно с точностью до поворота/параллельного переноса/зеркального отражения.
- Геометрический смысл: центроид делит медианы в отношении $2:1$; в векторной формулировке медиа‑векторы от центра суммируются в ноль, и из этой векторной связи следует линейная система, приведшая к формулам выше.
- Граничные случаи: если для какой‑то медианы $m_a=m_b+m_c$ (равенство) — тогда исходный треугольник вырожден (вырожд. отрезок); если соответствующая формула даёт ноль или отрицательное значение под корнем — треугольника нет.
Итого: алгоритм — вычислить $a^2,b^2,c^2$ по формулам
$$a^2=\frac{8}{9}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)-\frac{4}{3}{m}_a^2,\text{и циклически},$$ проверить положительность и треугольные неравенства, построить длины и затем треугольник; решение уникально при существовании. Также практичный критерий существования: заданные три числа должны быть сторонами некоторого треугольника (каждая меньше суммы двух других).