Координатное доказательство (коротко и полностью).
Пусть$BC$ фиксирована, длина $BC=2d$. Поставим координатную систему так, чтобы $B(-d,0),C(d,0)$ и прямая, по которой движется $A$, была $y=h$ (параллельна $BC$). Тогда $A=(t,h)$ при параметре $t\in \mathbb{R}$. Перпендикулярный биссектор отрезка $BC$ — прямая $x=0$, поэтому центр описанной окружности $O$ имеет координаты $(0,y)$.
Условие равенства расстояний до вершин $OA=OB$ даёт
$$t^2+(h-y{)}^2=d^2+y^2.$$ Упрощая,
$$t^2+h^2-2hy=d^2,$$ откуда
$$y=\frac{t^2+h^2-d^2}{2h}.\text{\hspace{1em}(1)}$$
Следствия и описание траектории.
1) Локус. По (1) центр всегда лежит на фиксированной прямой — перпендикулярном биссекторе отрезка $BC$ (то есть на прямой $x=0$). Величина $y$ как функция от $t$ равна квадратичной форме $y=\frac{t^2}{2h}+\frac{h^2-d^2}{2h}$. При $h\ne 0$ минимум по $t$ достигается при $t=0$ и равен
$$y_{\min }=\frac{h^2-d^2}{2h}.$$ Поэтому при $h>0$ образ (траектория) — луч на прямой $x=0$ с координатами
$$\{(0,y)\mid y\ge y_{\min }\},$$ а при $h<0$ — аналогичный луч в обратном направлении:
$$\{(0,y)\mid y\le y_{\min }\}.$$ (Случай $h=0$: прямая движения совпадает с $BC$, треугольник вырождается в коллинеарные точки и описанная окружность имеет бесконечный радиус — центр «уходит в бесконечность» вдоль перпендикулярного биссектора.)
2) Положение относительно стороны $BC$. Точка $O$ лежит на той же стороне от $BC$, что и $A$, тогда и только тогда, когда начальная точка луча $y_{\min }$ имеет тот же знак, то есть эквивалентно
$$|h|>d.$$ Если же $|h|<d$, то при $t=0$ центр лежит по другую сторону от $BC$ (т.е. описанная окружность соответствует остро/тупоугольным случаям).
3) Центр на данной прямой движения. Требуем $y=h$. Из (1) получаем
$$t^2+h^2-d^2=2h^2\Rightarrow t^2=d^2+h^2.$$ Следовательно существуют ровно два положения $A$ (симметричные относительно середины $BC$), при которых центр лежит на той же прямой $y=h$: $t=\pm \sqrt{d^2+h^2}$.
4) Радиус описанной окружности. Радиус $R$ равен $OB=\sqrt{d^2+y^2}$. Подставляя $y$ из (1),
$$R^2=d^2+{\left(\frac{t^2+h^2-d^2}{2h}\right)}^2.$$ Минимум достигается при $t=0$ и равен
$$R_{\min }=\frac{h^2+d^2}{2|h|}.$$ При $|t|\to \infty$ имеем $y\to \infty$ (или $-\infty$ при $h<0$) и $R\to \infty$. При $h\to 0$ (A приближается к $BC$) $y$ и $R$ стремятся к бесконечности (выражая геометрически: центр уходит в бесконечность, окружность вырождается).
Вывод (кратко): центр описанной окружности при перемещении вершины $A$ по прямой, параллельной фиксированной стороне $BC$, движется по лучу перпендикулярного биссектора $BC$, начинающемуся в точке $(0,\frac{h^2-d^2}{2h})$ (которую даёт положение $A$ над серединой $BC$) и уходящему в бесконечность в сторону, соответствующую знаку $h$. Центр лежит на самой прямой движения для тех двух положений $A$, которые удовлетворяют $t^2=d^2+h^2$. Центр уходит в бесконечность при вырождении треугольника ($h=0$) или при удалении $A$ на бесконечность.